Tema 12Llest per a practicar

Transformacions geomètriques

Contingut del tema

12.1Transformacions geomètriques
12.2Moviments en el pla
12.3Translacions
12.4Girs. Figures amb centre de gir
12.5Simetries axials. Figures amb eixos de simetria
12.6Composició de moviments
12.7Mosaics, sanefes i rosetons

Teoria

12.1Transformacions geomètriques

Transformació

Una transformació geomètrica és una regla que a cada punt del pla li fa correspondre un altre punt, la seua imatge. L’interessant no és la regla en si, sinó què es conserva en aplicar-la.

Un moviment o isometria conserva les distàncies. La figura arriba igual: mateixa grandària i mateixa forma.
Una semblança conserva la forma i els angles, però canvia la grandària. L’homotècia és el cas més senzill.

Homotècia

Una homotècia de centre $O$ i raó $k$ envia cada punt $P$ a un punt $P^{'}$ que està en la recta $O P$ , a $k$ vegades la distància. Si $k$ és negatiu, la imatge ix a l’altre costat del centre.

P^{'} = O + k \cdot (P - O)

Homotècia de centre O i raó 2: la figura ix al doble, i cada punt queda alineat amb el centre i la seua imatge.

En una homotècia de raó $k$ , les longituds es multipliquen per $k$ , les àrees per $k^{2}$ i els angles no canvien. Una homotècia no és un moviment, llevat que $k = 1$ o $k = - 1$ .

12.2Moviments en el pla

Un moviment mou la figura sense deformar-la. En el pla només n’hi ha tres, i qualsevol altre és una combinació d’ells: la translació, el gir i la simetria axial.

Directes i inversos

La diferència important està en el sentit. Una translació i un gir són directes: la figura arriba del dret, i si recorres els seus vèrtexs en el mateix orde vas girant cap al mateix costat. Una simetria axial és inversa: la figura arriba del revés, com en un espill.

Per a saber quin és, hi ha dues preguntes que basten quasi sempre. Primera: ha canviat de sentit? Si sí, hi ha una simetria pel mig. Si no: s’han mogut tots els punts igual? Si sí, és una translació; si no, és un gir.

12.3Translacions

Translació

Una translació de vector $v (a, b)$ mou tots els punts el mateix i en la mateixa direcció: $a$ cap a la dreta i $b$ cap amunt. Res no es queda quiet, i la figura no gira ni es tomba.

P (x, y) ⟶ P^{'} (x + a, y + b)

Translació de vector (4, 2). Tots els vèrtexs es mouen exactament el mateix.

A l’inrevés també serveix: si saps d’on ix un punt i on arriba, el vector és la resta. De $P (1, 2)$ a $P^{'} (5, - 1)$ , el vector és $(5 - 1, - 1 - 2) = (4, - 3)$ .

12.4Girs. Figures amb centre de gir

Gir

Un gir de centre $O$ i angle $α$ fa rodar el pla al voltant d’ $O$ . El centre és l’únic punt que es queda on estava. Si no es diu una altra cosa, es gira en sentit contrari a les agulles del rellotge.

Amb centre en l’origen, els tres girs que ixen en 3r ESO es fan de cap:

9 0^{\circ} : (x, y) \to (- y, x) 18 0^{\circ} : (x, y) \to (- x, - y) 27 0^{\circ} : (x, y) \to (y, - x)

Gir de 90° al voltant de l’origen: el punt (4, 1) va a parar a (−1, 4).

Si el centre no és l’origen, es fa en tres passos: es resta el centre, es gira, i es torna a sumar. És el mateix truc de sempre: portar el problema on ja el sabem resoldre.

Figures amb centre de gir

Una figura té **centre de gir d’orde $n$ ** si en girar-la al voltant d’un punt torna a quedar igual $n$ vegades en una volta completa. El gir més xicotet que la deixa igual és $36 0^{\circ} / n$ .

Un polígon regular d’ $n$ costats té orde $n$ .
Un rectangle, un rombe i un paral·lelogram qualsevol tenen orde 2: giren 180° i queden igual.

12.5Simetries axials. Figures amb eixos de simetria

Simetria axial

Una simetria axial d’eix $e$ envia cada punt a l’altre costat de l’eix, a la mateixa distància i en perpendicular. Dit d’una altra manera: l’eix és la mediatriu del segment que uneix cada punt amb la seua imatge. Els punts de l’eix es queden on estan.

Respecte de l’eix $X$ : $(x, y) \to (x, - y)$ .
Respecte de l’eix $Y$ : $(x, y) \to (- x, y)$ .
Respecte de la recta $x = k$ : $(x, y) \to (2 k - x, y)$ .
Respecte de la recta $y = x$ : $(x, y) \to (y, x)$ .

Simetria respecte de x = 5. Cada punt i la seua imatge estan a la mateixa distància de l’eix, però el triangle arriba del revés.

Figures amb eixos de simetria

Una figura té un eix de simetria si en doblegar-la per eixa recta les dues meitats encaixen. Un polígon regular d’ $n$ costats en té $n$ ; un rectangle en té 2 (els dels punts mitjans, no les diagonals); un paral·lelogram qualsevol no en té cap.

Els cinc eixos del pentàgon regular: cadascun va d’un vèrtex al punt mitjà del costat de davant.

Les diagonals d’un rectangle no són eixos de simetria, encara que ho semble: en doblegar per elles, les dues meitats no encaixen.

12.6Composició de moviments

Aplicar un moviment i després un altre és compondre’ls. El bonic és que el resultat sempre és un altre moviment, i moltes vegades un de més senzill que els dos de partida.

Dues translacions donen una translació: se sumen els vectors.
Dues simetries d’eixos paral·lels donen una translació perpendicular als eixos, del doble de la distància que els separa.
Dues simetries d’eixos que es tallen donen un gir amb centre en el tall i angle el doble del que formen els eixos. Si són perpendiculars, ix un gir de 180°.
Una simetria més una translació paral·lela al seu eix és una simetria amb lliscament: és el moviment de les petjades en caminar.

Exemple resolt

S’aplica al punt $P (1, 3)$ la simetria respecte de $x = 2$ i, al resultat, la simetria respecte de $x = 5$ . On acaba?

1
Primera simetria, amb eix vertical: la $y$ no canvia.
$x^{'} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
2
Segona simetria:
$x^{''} = 2 \cdot 5 - 3 = 7$
3
Ha anat de $x = 1$ a $x = 7$ : sis unitats, que és el doble de la distància entre els eixos. És una translació de vector $(6, 0)$ .
$2 \cdot (5 - 2) = 6$

12.7Mosaics, sanefes i rosetons

Quasi tota la decoració geomètrica que hi ha en un edifici ix de repetir un motiu amb moviments. Canvia el moviment que es repeteix, i canvia el tipus d’adorn.

Una sanefa o fris repeteix el motiu en una sola direcció, amb translacions del mateix vector.
Un rosetó repeteix el motiu amb girs al voltant d’un centre. Amb $n$ motius, el gir és de $36 0^{\circ} / n$ .
Un mosaic cobreix tot el pla, sense buits ni peces muntades, repetint en dues direccions.

Quins polígons regulars fan mosaic

Al voltant de cada vèrtex del mosaic, els angles han de sumar exactament $36 0^{\circ}$ . Amb un sol polígon regular repetit, això obliga que $360$ siga múltiple de l’angle interior, i només passa amb tres: el triangle equilàter (6 peces), el quadrat (4) i l’hexàgon regular (3).

Tres hexàgons de 120° al voltant de cada vèrtex sumen els 360° justos. Per això encaixen.

Exemple resolt

Es pot fer un mosaic només amb pentàgons regulars?

1
L’angle interior d’un pentàgon regular:
$\frac{( 5 - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{5} = 10 8^{\circ}$
2
I quants en caben al voltant d’un vèrtex:
$\frac{360}{108} \approx 3, 33$
3
No ix un nombre enter: amb tres pentàgons queda un buit i amb quatre es munten. No es pot.

Practicar

Preparant l’exercici…

Fer la prova del tema

Quan el tingues treballat, posa’t a prova amb deu exercicis de tot el tema.

Fer la prova del tema