Tema 12Listo para practicar

Transformaciones geométricas

Contenido del tema

12.1Transformaciones geométricas
12.2Movimientos en el plano
12.3Traslaciones
12.4Giros. Figuras con centro de giro
12.5Simetrías axiales. Figuras con ejes de simetría
12.6Composición de movimientos
12.7Mosaicos, cenefas y rosetones

Teoría

12.1Transformaciones geométricas

Transformación

Una transformación geométrica es una regla que a cada punto del plano le hace corresponder otro punto, su imagen. Lo interesante no es la regla en sí, sino qué se conserva al aplicarla.

Un movimiento o isometría conserva las distancias. La figura llega igual: mismo tamaño y misma forma.
Una semejanza conserva la forma y los ángulos, pero cambia el tamaño. La homotecia es el caso más sencillo.

Homotecia

Una homotecia de centro $O$ y razón $k$ manda cada punto $P$ a un punto $P^{'}$ que está en la recta $O P$ , a $k$ veces la distancia. Si $k$ es negativo, la imagen sale al otro lado del centro.

P^{'} = O + k \cdot (P - O)

Homotecia de centro O y razón 2: la figura sale al doble, y cada punto queda alineado con el centro y su imagen.

En una homotecia de razón $k$ , las longitudes se multiplican por $k$ , las áreas por $k^{2}$ y los ángulos no cambian. Una homotecia no es un movimiento, salvo si $k = 1$ o $k = - 1$ .

12.2Movimientos en el plano

Un movimiento mueve la figura sin deformarla. En el plano solo hay tres, y cualquier otro es una combinación de ellos: la traslación, el giro y la simetría axial.

Directos e inversos

La diferencia importante está en el sentido. Una traslación y un giro son directos: la figura llega del derecho, y si recorres sus vértices en el mismo orden vas girando hacia el mismo lado. Una simetría axial es inversa: la figura llega del revés, como en un espejo.

Para saber cuál es, hay dos preguntas que bastan casi siempre. Primero: ¿ha cambiado de sentido? Si sí, hay una simetría de por medio. Si no: ¿se han movido todos los puntos igual? Si sí, es una traslación; si no, es un giro.

12.3Traslaciones

Traslación

Una traslación de vector $v (a, b)$ mueve todos los puntos lo mismo y en la misma dirección: $a$ hacia la derecha y $b$ hacia arriba. Nada se queda quieto, y la figura no gira ni se voltea.

P (x, y) ⟶ P^{'} (x + a, y + b)

Traslación de vector (4, 2). Todos los vértices se mueven exactamente lo mismo.

Al revés también sirve: si sabes de dónde sale un punto y adónde llega, el vector es la resta. De $P (1, 2)$ a $P^{'} (5, - 1)$ , el vector es $(5 - 1, - 1 - 2) = (4, - 3)$ .

12.4Giros. Figuras con centro de giro

Giro

Un giro de centro $O$ y ángulo $α$ hace rodar el plano alrededor de $O$ . El centro es el único punto que se queda donde estaba. Si no se dice otra cosa, se gira en sentido contrario a las agujas del reloj.

Con centro en el origen, los tres giros que salen en 3.º ESO se hacen de cabeza:

9 0^{\circ} : (x, y) \to (- y, x) 18 0^{\circ} : (x, y) \to (- x, - y) 27 0^{\circ} : (x, y) \to (y, - x)

Giro de 90° alrededor del origen: el punto (4, 1) va a parar a (−1, 4).

Si el centro no es el origen, se hace en tres pasos: se resta el centro, se gira, y se vuelve a sumar. Es el mismo truco de siempre: llevar el problema a donde ya sabemos resolverlo.

Figuras con centro de giro

Una figura tiene **centro de giro de orden $n$ ** si al girarla alrededor de un punto vuelve a quedar igual $n$ veces en una vuelta completa. El giro más pequeño que la deja igual es $36 0^{\circ} / n$ .

Un polígono regular de $n$ lados tiene orden $n$ .
Un rectángulo, un rombo y un paralelogramo cualquiera tienen orden 2: giran 180° y quedan igual.

12.5Simetrías axiales. Figuras con ejes de simetría

Simetría axial

Una simetría axial de eje $e$ manda cada punto al otro lado del eje, a la misma distancia y en perpendicular. Dicho de otro modo: el eje es la mediatriz del segmento que une cada punto con su imagen. Los puntos del eje se quedan donde están.

Respecto del eje $X$ : $(x, y) \to (x, - y)$ .
Respecto del eje $Y$ : $(x, y) \to (- x, y)$ .
Respecto de la recta $x = k$ : $(x, y) \to (2 k - x, y)$ .
Respecto de la recta $y = x$ : $(x, y) \to (y, x)$ .

Simetría respecto de x = 5. Cada punto y su imagen están a la misma distancia del eje, pero el triángulo llega del revés.

Figuras con ejes de simetría

Una figura tiene un eje de simetría si al doblarla por esa recta las dos mitades encajan. Un polígono regular de $n$ lados tiene $n$ ejes; un rectángulo tiene 2 (los de los puntos medios, no las diagonales); un paralelogramo cualquiera no tiene ninguno.

Los cinco ejes del pentágono regular: cada uno va de un vértice al punto medio del lado de enfrente.

Las diagonales de un rectángulo no son ejes de simetría, aunque lo parezca: al doblar por ellas, las dos mitades no encajan.

12.6Composición de movimientos

Aplicar un movimiento y después otro es componerlos. Lo bonito es que el resultado siempre es otro movimiento, y muchas veces uno más sencillo que los dos de partida.

Dos traslaciones dan una traslación: se suman los vectores.
Dos simetrías de ejes paralelos dan una traslación perpendicular a los ejes, del doble de la distancia que los separa.
Dos simetrías de ejes que se cortan dan un giro con centro en el corte y ángulo el doble del que forman los ejes. Si son perpendiculares, sale un giro de 180°.
Una simetría más una traslación paralela a su eje es una simetría con deslizamiento: es el movimiento de las huellas al andar.

Ejemplo resuelto

Se aplica al punto $P (1, 3)$ la simetría respecto de $x = 2$ y, al resultado, la simetría respecto de $x = 5$ . ¿Dónde acaba?

1
Primera simetría, con eje vertical: la $y$ no cambia.
$x^{'} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
2
Segunda simetría:
$x^{''} = 2 \cdot 5 - 3 = 7$
3
Ha ido de $x = 1$ a $x = 7$ : seis unidades, que es el doble de la distancia entre los ejes. Es una traslación de vector $(6, 0)$ .
$2 \cdot (5 - 2) = 6$

12.7Mosaicos, cenefas y rosetones

Casi toda la decoración geométrica que hay en un edificio sale de repetir un motivo con movimientos. Cambia el movimiento que se repite, y cambia el tipo de adorno.

Una cenefa o friso repite el motivo en una sola dirección, con traslaciones del mismo vector.
Un rosetón repite el motivo con giros alrededor de un centro. Con $n$ motivos, el giro es de $36 0^{\circ} / n$ .
Un mosaico cubre todo el plano, sin huecos ni piezas montadas, repitiendo en dos direcciones.

Qué polígonos regulares hacen mosaico

Alrededor de cada vértice del mosaico, los ángulos tienen que sumar exactamente $36 0^{\circ}$ . Con un solo polígono regular repetido, eso obliga a que $360$ sea múltiplo del ángulo interior, y solo pasa con tres: el triángulo equilátero (6 piezas), el cuadrado (4) y el hexágono regular (3).

Tres hexágonos de 120° alrededor de cada vértice suman los 360° justos. Por eso encajan.

Ejemplo resuelto

¿Se puede hacer un mosaico solo con pentágonos regulares?

1
El ángulo interior de un pentágono regular:
$\frac{( 5 - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{5} = 10 8^{\circ}$
2
Y cuántos caben alrededor de un vértice:
$\frac{360}{108} \approx 3, 33$
3
No sale un número entero: con tres pentágonos queda un hueco y con cuatro se montan. No se puede.

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