Cuerpos geométricos

11.1Poliedros regulares y semirregulares

• Tetraedro: 4 triángulos. C = 4, V = 4, A = 6.
• Cubo: 6 cuadrados. C = 6, V = 8, A = 12.
• Octaedro: 8 triángulos. C = 8, V = 6, A = 12.
• Dodecaedro: 12 pentágonos. C = 12, V = 20, A = 30.
• Icosaedro: 20 triángulos. C = 20, V = 12, A = 30.

Para contar las aristas sin dibujarlas hay un truco: se cuentan los lados de todas las caras y se divide entre dos, porque cada arista pertenece a dos caras y así se ha contado dos veces. Con los vértices igual, pero dividiendo entre el número de caras que llegan a cada uno.

Los poliedros semirregulares aflojan la condición: las caras siguen siendo polígonos regulares, pero no todas iguales. Los prismas y los antiprismas de caras regulares son semirregulares, y también los trece sólidos arquimedianos.

11.2Poliedros truncados

El ejemplo más famoso lo tienes en cualquier campo de fútbol: un icosaedro truncado. Se le cortan los 12 vértices al icosaedro y salen 12 pentágonos, que se quedan los 20 triángulos convertidos en hexágonos. En total, 32 caras: las de un balón.

• Caras: las de antes, más una por cada vértice cortado. $C^{\prime }=C+V$.
• Vértices: los de antes desaparecen; cada arista antigua acaba con uno nuevo en cada punta. $V^{\prime }=2A$.
• Aristas: siguen las de antes, más cortas, y cada cara nueva aporta su contorno. $A^{\prime }=3A$.

11.3Planos de simetría de una figura

• Un ortoedro con las tres aristas distintas tiene 3.
• Un cubo tiene 9: tres paralelos a las caras y seis por aristas opuestas.
• Un prisma recto de base regular de $n$ lados tiene $n+1$.
• Una pirámide recta de base regular de $n$ lados tiene $n$.
• Una esfera, un cilindro y un cono tienen infinitos.

La pirámide no tiene el plano horizontal que sí tiene el prisma: arriba hay un vértice y abajo una base, y eso no es un reflejo.

11.4Ejes de giro de una figura

• El eje principal de un prisma o una pirámide de base regular de $n$ lados es de orden $n$.
• Un prisma recto de base regular tiene, además, $n$ ejes de orden 2 perpendiculares al principal.
• Un cubo tiene 13 ejes: 3 de orden 4 por los centros de las caras, 4 de orden 3 por vértices opuestos y 6 de orden 2 por puntos medios de aristas opuestas.
• Una esfera tiene infinitos ejes, y todos pasan por su centro.

11.5Superficie de los cuerpos geométricos

La superficie de un cuerpo es el área de su desarrollo plano: lo que sale al recortarlo por las aristas y estirarlo sobre la mesa. Por eso no hay que memorizar tantas fórmulas como parece; basta con saber en qué figuras planas se descompone.

El error clásico es usar la altura de la pirámide como altura de las caras. La cara está inclinada, así que su altura es mayor.

11.6Volumen de los cuerpos geométricos

Aquí solo hay tres ideas. Los cuerpos con dos bases iguales (prismas y cilindros) valen base por altura. Los que acaban en punta (pirámides y conos) valen la tercera parte. Y la esfera va aparte.

Cuidado con las unidades: al pasar de metros a decímetros, las longitudes se multiplican por 10, pero los volúmenes por 1000.

11.7Coordenadas geográficas

La Tierra es, para lo que nos ocupa, una esfera de unos 6370 km de radio. Para decir dónde está un punto se usan dos ángulos medidos desde su centro.

• La latitud dice cuánto se sube o se baja desde el ecuador. Va de 0° a 90°, hacia el norte (N) o hacia el sur (S). Los puntos de la misma latitud forman un paralelo.
• La longitud dice cuánto se va hacia un lado desde el meridiano de Greenwich. Va de 0° a 180°, este (E) u oeste (O). Los puntos de la misma longitud forman un meridiano.