Tema 11Llest per a practicar

Cossos geomètrics

Contingut del tema

11.1Poliedres regulars i semiregulars
11.2Poliedres truncats
11.3Plans de simetria d'una figura
11.4Eixos de gir d'una figura
11.5Superfície dels cossos geomètrics
11.6Volum dels cossos geomètrics
11.7Coordenades geogràfiques

Teoria

11.1Poliedres regulars i semiregulars

Poliedre

Un poliedre és un cos limitat per cares planes. On s’ajunten dues cares hi ha una aresta, i on s’ajunten diverses arestes, un vèrtex.

En un croquis, les arestes que queden darrere es dibuixen de punts. Compte: en perspectiva les mesures s’escurcen, així que un croquis no es mesura, es llig.

Fórmula d’Euler

En qualsevol poliedre convex, el nombre de cares més el de vèrtexs és igual al d’arestes més dos. Tant se val que siga un cub, una piràmide de base d’onze costats o una pilota de futbol: sempre es compleix.

C + V = A + 2

Els cinc poliedres regulars

Un poliedre és regular si totes les seues cares són polígons regulars iguals i en tots els vèrtexs s’ajunten les mateixes cares. Només n’hi ha cinc, i no és casualitat: amb sis triangles, quatre quadrats o tres hexàgons al voltant d’un punt ja es completen els 360° i la figura es queda plana.

Tetraedre: 4 triangles. C = 4, V = 4, A = 6.
Cub: 6 quadrats. C = 6, V = 8, A = 12.
Octaedre: 8 triangles. C = 8, V = 6, A = 12.
Dodecaedre: 12 pentàgons. C = 12, V = 20, A = 30.
Icosaedre: 20 triangles. C = 20, V = 12, A = 30.

Per a comptar les arestes sense dibuixar-les hi ha un truc: es compten els costats de totes les cares i es divideix entre dos, perquè cada aresta pertany a dues cares i així s’ha comptat dues vegades. Amb els vèrtexs igual, però dividint entre el nombre de cares que arriben a cadascun.

Exemple resolt

El dodecaedre té 12 cares pentagonals i en cada vèrtex se n’ajunten 3. Quantes arestes i quants vèrtexs té?

1
Costats de totes les cares comptats per separat:
$12 \cdot 5 = 60$
2
Cada aresta s’ha comptat dues vegades, una per cada cara.
$A = \frac{60}{2} = 30$
3
Cada vèrtex, tres vegades, una per cada cara que hi arriba.
$V = \frac{60}{3} = 20$
4
I Euler quadra:
$12 + 20 = 30 + 2$

Els poliedres semiregulars afluixen la condició: les cares continuen sent polígons regulars, però no totes iguals. Els prismes i els antiprismes de cares regulars són semiregulars, i també els tretze sòlids arquimedians.

11.2Poliedres truncats

Truncar

Truncar un poliedre és tallar-li una cantonada per cada vèrtex. Cada tall deixa una cara nova, i les que ja hi havia es queden més xicotetes però amb la mateixa forma.

L’exemple més famós el tens en qualsevol camp de futbol: un icosaedre truncat. Se li tallen els 12 vèrtexs a l’icosaedre i n’ixen 12 pentàgons, que deixen els 20 triangles convertits en hexàgons. En total, 32 cares: les d’una pilota.

Cares: les d’abans, més una per cada vèrtex tallat. $C^{'} = C + V$ .
Vèrtexs: els d’abans desapareixen; cada aresta antiga acaba amb un de nou en cada punta. $V^{'} = 2 A$ .
Arestes: continuen les d’abans, més curtes, i cada cara nova aporta el seu contorn. $A^{'} = 3 A$ .

Exemple resolt

Es trunca un cub (6 cares, 8 vèrtexs, 12 arestes). Què n’ix?

1
Les sis cares continuen ahí i se n’afig una per vèrtex.
$C^{'} = 6 + 8 = 14$
2
Cada aresta deixa dos vèrtexs nous.
$V^{'} = 2 \cdot 12 = 24$
3
I les arestes es tripliquen.
$A^{'} = 3 \cdot 12 = 36$
4
Comprovació amb Euler:
$14 + 24 = 36 + 2$

11.3Plans de simetria d’una figura

Pla de simetria

Un pla de simetria parteix el cos en dues meitats que són una el reflex de l’altra, com si el pla fóra un espill. No n’hi ha prou que les dues meitats tinguen la mateixa grandària: han d’encaixar reflectides.

Un ortoedre amb les tres arestes distintes en té 3.
Un cub en té 9: tres paral·lels a les cares i sis per arestes oposades.
Un prisma recte de base regular d’ $n$ costats en té $n + 1$ .
Una piràmide recta de base regular d’ $n$ costats en té $n$ .
Una esfera, un cilindre i un con en tenen infinits.

La piràmide no té el pla horitzontal que sí que té el prisma: dalt hi ha un vèrtex i baix una base, i això no és un reflex.

Un prisma hexagonal regular té 7 plans de simetria: 6 verticals, un per cada eix de l’hexàgon, i un horitzontal a mitja altura.

11.4Eixos de gir d’una figura

Eix de gir i orde

Una recta és un eix de gir si, en girar el cos al voltant d’ella menys d’una volta sencera, el cos torna a ocupar exactament el mateix lloc. L’orde de l’eix és quantes vegades passa això en una volta completa.

giro m ı ˊ nimo = \frac{36 0 ^{\circ}}{orden}

L’eix principal d’un prisma o d’una piràmide de base regular d’ $n$ costats és d’orde $n$ .
Un prisma recte de base regular té, a més, $n$ eixos d’orde 2 perpendiculars al principal.
Un cub té 13 eixos: 3 d’orde 4 pels centres de les cares, 4 d’orde 3 per vèrtexs oposats i 6 d’orde 2 per punts mitjans d’arestes oposades.
Una esfera té infinits eixos, i tots passen pel seu centre.

Exemple resolt

Quin és el gir més xicotet que deixa igual un prisma de base pentagonal regular?

1
La base té 5 costats, així que l’eix principal és d’orde 5.
$\frac{36 0 ^{\circ}}{5} = 7 2^{\circ}$

11.5Superfície dels cossos geomètrics

La superfície d’un cos és l’àrea del seu desenvolupament pla: el que ix en retallar-lo per les arestes i estirar-lo damunt la taula. Per això no cal memoritzar tantes fórmules com sembla; només cal saber en quines figures planes es descompon.

Un ortoedre són sis rectangles, iguals dos a dos: A = 2(ab + ac + bc).

Cilindre

En retallar un cilindre per una generatriu i estirar-lo, la part corba es converteix en un rectangle: d’alt, l’altura; de llarg, la circumferència de la base. I dalt i baix, dos cercles.

El rectangle fa 2πr de llarg. Per això l’àrea lateral és 2πrh.

A_{c i l in d r o} = 2 π r h + 2 π r^{2} = 2 π r (h + r)

Con

El desenvolupament d’un con és un sector circular de radi la generatriu, més el cercle de la base. La generatriu és el costat inclinat, i ix amb Pitàgores a partir del radi i l’altura.

L’arc del sector fa exactament el mateix que la circumferència de la base; si no, el con no tancaria.

g = r^{2} + h^{2} A_{co n o} = π r g + π r^{2}

Piràmide

El desenvolupament d’una piràmide regular és la base amb un triangle apegat a cada costat. L’altura d’eixos triangles és l’apotema de la piràmide, i no és l’altura del cos: s’obté amb Pitàgores a partir de l’altura i de l’apotema de la base.

L’error clàssic és usar l’altura de la piràmide com a altura de les cares. La cara està inclinada, així que la seua altura és major.

A_{es f er a} = 4 π r^{2}

L’esfera no es pot desenvolupar en un pla; la seua superfície és quatre vegades la del cercle màxim.

11.6Volum dels cossos geomètrics

Ací només hi ha tres idees. Els cossos amb dues bases iguals (prismes i cilindres) valen base per altura. Els que acaben en punta (piràmides i cons) valen la tercera part. I l’esfera va a banda.

V_{p r i s ma} = A_{ba se} \cdot h V_{p i r a ˊ mi d e} = \frac{A _{ba se} \cdot h}{3} V_{es f er a} = \frac{4 π r ^{3}}{3}

Un cilindre és un prisma de base circular: V = πr²h.

En una piràmide i en un con hi cap just la tercera part que en el prisma o el cilindre de la seua mateixa base i altura.

Volum i capacitat

Un decímetre cúbic és exactament un litre. D’ahí ix tot el que queda: un metre cúbic són 1000 litres i un centímetre cúbic és un mil·lilitre.

1 dm^{3} = 1 L 1 m^{3} = 1000 L

Exemple resolt

Un depòsit cilíndric fa 2 dm de radi i 5 dm d’altura. Quants litres hi caben?

1
El volum, en decímetres cúbics:
$V = π \cdot 2^{2} \cdot 5 \approx 62, 83$
2
I cada decímetre cúbic és un litre, així que el nombre no canvia.
$V \approx 62, 83$

Compte amb les unitats: en passar de metres a decímetres, les longituds es multipliquen per 10, però els volums per 1000.

11.7Coordenades geogràfiques

La Terra és, per al que ens ocupa, una esfera d’uns 6370 km de radi. Per a dir on està un punt s’usen dos angles mesurats des del seu centre.

La latitud diu quant es puja o es baixa des de l’equador. Va de 0° a 90°, cap al nord (N) o cap al sud (S). Els punts de la mateixa latitud formen un paral·lel.
La longitud diu quant es va cap a un costat des del meridià de Greenwich. Va de 0° a 180°, est (E) o oest (O). Els punts de la mateixa longitud formen un meridià.

La latitud és l’angle que forma el radi fins al punt amb el pla de l’equador.

Quant fa un paral·lel

L’equador és una circumferència màxima: té el radi de la Terra. Els altres paral·lels són més xicotets, i el seu radi és el catet contigu de l’angle de latitud.

r = R \cdot cos (latitud) L = 2 π r

Fusos horaris

La Terra fa una volta de 360° en 24 hores, així que gira 15° cada hora. Per això el planeta es reparteix en 24 fusos horaris de 15° d’ample, i dos llocs separats 45° de longitud porten 3 hores de diferència.

\frac{36 0 ^{\circ}}{24} = 1 5^{\circ} por hora

Exemple resolt

Dues ciutats estan en el mateix meridià, a 25° N i a 55° N. Quina distància hi ha entre elles pel meridià?

1
La diferència de latituds és l’angle de l’arc.
$5 5^{\circ} - 2 5^{\circ} = 3 0^{\circ}$
2
Un meridià és una circumferència màxima, així que s’agafa la part proporcional de la seua longitud.
$ℓ = 2 π \cdot 6370 \cdot \frac{30}{360} \approx 3335, 31$

Practicar

Preparant l’exercici…

Fer la prova del tema

Quan el tingues treballat, posa’t a prova amb deu exercicis de tot el tema.

Fer la prova del tema