Tema 10Llest per a practicar

Problemes mètrics en el pla

Contingut del tema

10.1Relacions angulars
10.2Triangles semblants. Teorema de Tales
10.3Figures semblants. Escales
10.4Teorema de Pitàgores
10.5Aplicació algebraica del teorema de Pitàgores
10.6Àrees dels polígons
10.7Àrees de les figures corbes

Teoria

10.1Relacions angulars

Molts problemes de geometria es resolen sense mesurar res: només cal saber quins angles són iguals i quins sumen una quantitat coneguda. Val la pena aprendre’s unes poques relacions, perquè apareixen una vegada i una altra.

Dos angles són complementaris si sumen $9 0^{\circ}$ .
Dos angles són suplementaris si sumen $18 0^{\circ}$ . És el que passa quan estan un al costat de l’altre sobre una recta.
Dos angles oposats pel vèrtex són iguals.

Dues paral·leles i una secant

Quan una recta talla dues paral·leles es formen huit angles, però només hi ha dos valors distints. Els que ocupen la mateixa posició en cada creuament (corresponents) són iguals; els que estan creuats per dins (alterns interns) també. Qualsevol altre parell suma $18 0^{\circ}$ .

Els dos de 60° són corresponents: ocupen el mateix lloc en cada creuament. El de 120° és el suplementari.

Angles d’un polígon

Des d’un vèrtex, un polígon de $n$ costats es parteix en $n - 2$ triangles. Com que cada triangle aporta $18 0^{\circ}$ , la suma de tots els angles interiors és $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$ . Si a més és regular, tots fan el mateix i només cal dividir.

S = (n - 2) \cdot 18 0^{\circ} regular : a^= \frac{( n - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{n}

Exemple resolt

Quant fa cada angle interior d’un octògon regular?

1
Primer la suma dels huit angles.
$S = (8 - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 108 0^{\circ}$
2
Com que és regular, es reparteix entre els huit.
$\frac{108 0 ^{\circ}}{8} = 13 5^{\circ}$

Angles en la circumferència

Un angle central té el vèrtex en el centre. Un angle inscrit el té sobre la circumferència. Si tots dos es recolzen en el mateix arc, l’inscrit fa la meitat del central.

El central fa 100° i l’inscrit, sobre el mateix arc AB, fa 50°: just la meitat.

Si l’arc és mitja circumferència, el central fa $18 0^{\circ}$ i l’inscrit, $9 0^{\circ}$ . Per això tot triangle recolzat en un diàmetre és rectangle.

10.2Triangles semblants. Teorema de Tales

Figures semblants

Dues figures són semblants si tenen la mateixa forma encara que no la mateixa grandària: els angles són iguals i els costats corresponents estan tots en la mateixa proporció. Eixe nombre s’anomena raó de semblança i s’escriu $k$ .

Per als triangles hi ha una drecera molt còmoda: si dos triangles tenen dos angles iguals, ja són semblants. No cal comprovar els costats, perquè el tercer angle ix sol.

Teorema de Tales

Si en un triangle es traça una recta paral·lela a un dels costats, el triangle xicotet que es forma és semblant al gran. Els altres dos costats queden dividits en parts proporcionals.

DE és paral·lel a BC. Es compleix 6/3 = 8/4, i també 6/9 = 8/12: tots dos valen 2/3.

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}

Compte amb què es compara amb què. $\frac{A D}{D B}$ compara tros amb tros; $\frac{A D}{A B}$ compara tros amb costat sencer. Les dues proporcions valen, però barrejar-les no.

Exemple resolt

A la mateixa hora, un pal d’1,5 m projecta 2 m d’ombra i un arbre en projecta 12. Quant fa l’arbre?

1
Els raigs del sol arriben amb la mateixa inclinació, així que els dos triangles són semblants.
$\frac{1 , 5}{2} = \frac{h}{12}$
2
Es multiplica en creu i es despeja.
$h = \frac{1 , 5 \cdot 12}{2} = 9$

10.3Figures semblants. Escales

Escala

Una escala és una raó de semblança escrita com $1 : N$ . Vol dir que cada unitat del dibuix són $N$ unitats de la realitat. En un mapa 1:50 000, un centímetre són 50 000 cm, és a dir, mig quilòmetre.

Del dibuix a la realitat: es multiplica per $N$ .
De la realitat al dibuix: es divideix entre $N$ .
I sempre en les mateixes unitats: 1 m = 100 cm, 1 km = 100 000 cm.

Què li passa a l’àrea i al volum

Este és el punt on més gent s’equivoca. Si les longituds es multipliquen per $k$ , les àrees es multipliquen per $k^{2}$ i els volums per $k^{3}$ . Una maqueta a mitja grandària no pesa la meitat: pesa la huitena part.

longitudes \times k a ˊ reas \times k^{2} vol u ˊ menes \times k^{3}

Exemple resolt

Dues figures semblants tenen raó $k = 3$ . La xicoteta té 20 cm² d’àrea. I la gran?

1
Les àrees no van amb $k$ , van amb $k^{2}$ : creixen el llarg i l’ample alhora.
$k^{2} = 3^{2} = 9$
2
Nou vegades, no tres.
$20 \cdot 9 = 180$

10.4Teorema de Pitàgores

El teorema

En un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets. La hipotenusa és el costat que s’oposa a l’angle recte, i sempre és el major dels tres.

h^{2} = a^{2} + b^{2}

El triangle de tota la vida: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

El teorema s’usa en dues direccions. Si coneixes els dos catets, sumes els quadrats. Si coneixes la hipotenusa i un catet, restes. En els dos casos, l’últim és extraure l’arrel quadrada, perquè el que es calcula primer és el quadrat del costat, no el costat.

L’error més repetit: donar per bona la resposta $h^{2} = 169$ i escriure $h = 169$ . Falta l’arrel: $h = 13$ .

El teorema al revés

També serveix per a comprovar si un triangle és rectangle: s’agafa el costat major, es compara el seu quadrat amb la suma dels quadrats dels altres dos, i si coincideixen, ho és. És com es replanteja una obra en angle recte sense escaire.

Exemple resolt

És rectangle un triangle de costats 8, 15 i 17?

1
El costat major seria la hipotenusa.
$1 7^{2} = 289$
2
I els altres dos:
$8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289$
3
Coincideixen: sí que és rectangle.

10.5Aplicació algebraica del teorema de Pitàgores

Quasi cap problema ve ja amb un triangle rectangle dibuixat. El que cal fer és trobar-lo dins de la figura: una diagonal, una altura, un radi i mitja corda. Tan bon punt el veus, la resta és aplicar la fórmula.

Diagonal d’un rectangle: els dos costats són els catets.
Altura d’un triangle isòsceles: l’altura cau en el punt mitjà de la base, així que un catet és mitja base i la hipotenusa és el costat igual.
Apotema d’un polígon regular: el radi és la hipotenusa i mig costat és l’altre catet.
Distància entre dos punts: els catets són les diferències de coordenades.

L’altura parteix la base en dos trossos de 6. Aleshores 10² = 6² + a², d’on a = 8.

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

La distància entre dos punts del pla: Pitàgores amb les diferències de coordenades.

Exemple resolt

Quina distància hi ha entre $A (- 2, 1)$ i $B (4, 9)$ ?

1
Les diferències de coordenades són els catets.
$4 - (- 2) = 6, 9 - 1 = 8$
2
I ara Pitàgores.
$d = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$

10.6Àrees dels polígons

Totes les fórmules d’esta llista ixen de la mateixa idea: convertir la figura en un rectangle, o en la meitat d’un. Si recordes el perquè, no cal memoritzar-les.

rect a ˊ ngulo = b \cdot h tri a ˊ ngulo = \frac{b \cdot h}{2} paralelogramo = b \cdot h

trapecio = \frac{( B + b ) \cdot h}{2} rombo = \frac{D \cdot d}{2} regular = \frac{P \cdot a}{2}

Dos trapezis iguals, un girat, formen un paral·lelogram de base 14 + 6. D’ací la fórmula.

L’altura no és un costat qualsevol: és la distància perpendicular entre les dues bases. En un paral·lelogram inclinat, el costat obliqu fa més que l’altura, i usar-lo per error infla l’àrea.

Polígons regulars

Un polígon regular es parteix, des del centre, en tants triangles iguals com costats té. L’altura de cadascun és l’apotema. Sumant les bases ix el perímetre, i d’ací la fórmula $A = \frac{P \cdot a}{2}$ .

En l’hexàgon el radi fa el mateix que el costat, així que l’apotema ix per Pitàgores: √(6² − 3²) ≈ 5,2.

10.7Àrees de les figures corbes

La circumferència és la línia; el cercle és la superfície que tanca. Una té longitud i l’altre té àrea, i les dues fórmules s’assemblen tant que convé fixar-s’hi: la que porta el radi al quadrat és la de l’àrea.

L = 2 π r A = π r^{2}

Sector circular i arc

Un sector és el tros de cercle que abasta un angle d’ $n$ graus, com una porció de coca. Un arc és el tros de circumferència corresponent. En els dos casos s’agafa la part proporcional: $n$ de cada $360$ .

A_{sector} = π r^{2} \cdot \frac{n}{360} ℓ_{arco} = 2 π r \cdot \frac{n}{360}

120° és la tercera part de 360°, així que este sector és la tercera part del cercle.

Corona circular

Una corona és el que queda entre dos cercles amb el mateix centre: un anell. La seua àrea és la del gran menys la del xicotet.

A = π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2})

En una corona es resten els quadrats dels radis, no els radis. Amb $R = 5$ i $r = 3$ , és $25 - 9 = 16$ , no $(5 - 3)^{2} = 4$ .

Exemple resolt

Una pista circular té 20 m de diàmetre. Quant es recorre en fer una volta i quanta superfície ocupa?

1
El radi és la meitat del diàmetre.
$r = \frac{20}{2} = 10$
2
La volta és la longitud de la circumferència.
$L = 2 \cdot π \cdot 10 \approx 62, 83$
3
I la superfície és l’àrea del cercle.
$A = π \cdot 1 0^{2} \approx 314, 16$

Practicar

Preparant l’exercici…

Fer la prova del tema

Quan el tingues treballat, posa’t a prova amb deu exercicis de tot el tema.

Fer la prova del tema