Funcions lineals i quadràtiques

9.1Funció de proporcionalitat y = mx

Si el doble d’una cosa costa el doble i el triple costa el triple, la relació entre les dues és una funció de proporcionalitat: $y=mx$.

La seua gràfica és sempre una recta que passa per l’origen, i el nombre $m$ diu com d’inclinada està. Eixe $m$ és la constant de proporcionalitat: el preu per unitat, la velocitat, els euros per hora.

9.2Funció lineal y = mx + n

• $m>0$: la recta puja.
• $m<0$: la recta baixa.
• $m=0$: la recta és horitzontal, la funció és constant.

Per a llegir el pendent en un dibuix, el truc és avançar una casella a la dreta i comptar quantes puja o baixa. Si baixa, el pendent és negatiu: eixe signe s’oblida constantment.

9.3Aplicacions de la funció lineal. Problemes de moviments

Moltes situacions reals són lineals, i totes comparteixen la mateixa estructura: una quantitat fixa de partida més una quantitat que es repetix.

• Un taxi: la baixada de bandera és la $n$, el preu per quilòmetre és la $m$.
• Un cotxe en marxa: el quilòmetre de partida és la $n$, la velocitat és la $m$.
• Una tarifa de mòbil: la quota mensual és la $n$, el preu per gigabyte és la $m$.

En una gràfica espai-temps, el pendent és la velocitat. Una recta més empinada és un mòbil més ràpid, i un tram horitzontal significa que està parat, no que ha tornat arrere.

9.4Estudi conjunt de dues funcions lineals

Quan hi ha dues opcions que comparar —dues tarifes, dos mòbils, dues ofertes— es dibuixen les dues rectes i el punt on es tallen és la clau: és on les dues valen el mateix.

Per a trobar-lo s’igualen les dues expressions, que és exactament resoldre un sistema. De fet és el tema de sistemes, vist des de les funcions.

Trobar el punt de tall no és la resposta completa. Falta dir què passa abans i què passa després: fins a eixe punt convé una opció, i a partir d’ahí l’altra.

9.5Paràboles i funcions quadràtiques

Tres coses la descriuen sencera, i les tres s’extrauen dels coeficients:

1. Cap a on obri: cap amunt si $a>0$, cap avall si $a<0$.
2. El vèrtex, que és el punt de gir: $x_v=\frac{-b}{2a}$, i l’altura substituint.
3. Els talls amb els eixos: amb el $Y$ en $c$, i amb el $X$ resolent $a{x}^2+bx+c=0$.

El vèrtex cau just en el punt mitjà dels dos talls amb l’eix X, quan n’hi ha. És una comprovació que costa un segon: si el teu vèrtex no està centrat entre les arrels, hi ha un error.

Una paràbola pot tallar l’eix X en dos punts, en un o en cap, i això és exactament el discriminant del tema d’equacions. Que no talle no significa que l’exercici estiga malament: significa que la paràbola passa sencera per damunt o per davall de l’eix.