Funciones lineales y cuadráticas

9.1Función de proporcionalidad y = mx

Si el doble de una cosa cuesta el doble y el triple cuesta el triple, la relación entre las dos es una función de proporcionalidad: $y=mx$.

Su gráfica es siempre una recta que pasa por el origen, y el número $m$ dice lo inclinada que está. Ese $m$ es la constante de proporcionalidad: el precio por unidad, la velocidad, los euros por hora.

9.2Función lineal y = mx + n

• $m>0$: la recta sube.
• $m<0$: la recta baja.
• $m=0$: la recta es horizontal, la función es constante.

Para leer la pendiente en un dibujo, el truco es avanzar una casilla a la derecha y contar cuántas sube o baja. Si baja, la pendiente es negativa: ese signo se olvida constantemente.

9.3Aplicaciones de la función lineal. Problemas de movimientos

Muchas situaciones reales son lineales, y todas comparten la misma estructura: una cantidad fija de partida más una cantidad que se repite.

• Un taxi: la bajada de bandera es la $n$, el precio por kilómetro es la $m$.
• Un coche en marcha: el kilómetro de partida es la $n$, la velocidad es la $m$.
• Una tarifa de móvil: la cuota mensual es la $n$, el precio por gigabyte es la $m$.

En una gráfica espacio-tiempo, la pendiente es la velocidad. Una recta más empinada es un móvil más rápido, y un tramo horizontal significa que está parado, no que ha vuelto atrás.

9.4Estudio conjunto de dos funciones lineales

Cuando hay dos opciones que comparar —dos tarifas, dos móviles, dos ofertas— se dibujan las dos rectas y el punto donde se cortan es la clave: es donde las dos valen lo mismo.

Para encontrarlo se igualan las dos expresiones, que es exactamente resolver un sistema. De hecho es el tema de sistemas, visto desde las funciones.

Encontrar el punto de corte no es la respuesta completa. Falta decir qué pasa antes y qué pasa después: hasta ese punto conviene una opción, y a partir de ahí la otra.

9.5Parábolas y funciones cuadráticas

Tres cosas la describen entera, y las tres se sacan de los coeficientes:

1. Hacia dónde abre: hacia arriba si $a>0$, hacia abajo si $a<0$.
2. El vértice, que es el punto de giro: $x_v=\frac{-b}{2a}$, y la altura sustituyendo.
3. Los cortes con los ejes: con el $Y$ en $c$, y con el $X$ resolviendo $a{x}^2+bx+c=0$.

El vértice cae justo en el punto medio de los dos cortes con el eje X, cuando los hay. Es una comprobación que cuesta un segundo: si tu vértice no está centrado entre las raíces, hay un error.

Una parábola puede cortar al eje X en dos puntos, en uno o en ninguno, y eso es exactamente el discriminante del tema de ecuaciones. Que no corte no significa que el ejercicio esté mal: significa que la parábola pasa entera por encima o por debajo del eje.