Funciones. Características
Contenido del tema
Teoría
8.1Las funciones y sus gráficas
Función
Una función es una relación que a cada valor de una magnitud le hace corresponder uno y solo uno de otra. Ese «uno y solo uno» es toda la definición: si a un valor le tocaran dos, no sería una función.
La primera magnitud es la variable independiente, la ; la segunda es la dependiente, la . Se escribe , que se lee «y es f de x».
Una función se puede dar de tres formas: con un enunciado, con una tabla de valores o con una gráfica. Y todas dicen lo mismo.
La prueba de la recta vertical: si una recta vertical corta al dibujo en dos puntos, eso no es la gráfica de una función, porque ese valor de tendría dos alturas. Por eso una circunferencia no es una función.
8.2Aspectos relevantes de una función
Estudiar una función es responder unas cuantas preguntas mirando su gráfica. Estas son las que importan en este curso:
Dominio y recorrido
El dominio son los valores de para los que la función existe: lo que se ve mirando de izquierda a derecha. El recorrido son las alturas que alcanza: lo que se ve mirando de abajo arriba.
Cortes con los ejes
Corta al eje donde , y como mucho una vez, porque si no no sería función. Corta al eje donde la altura es cero, y ahí puede cortar varias veces.
Crecimiento y decrecimiento
La función crece donde sube al avanzar hacia la derecha, y decrece donde baja. Siempre se lee de izquierda a derecha, como cuando se lee un texto.
Máximos y mínimos
Un máximo es un punto más alto que los de su alrededor; un mínimo, más bajo. Se dan justo donde la función deja de subir y empieza a bajar, o al revés.
Cuando se pide un máximo hay que dar las dos coordenadas. El valor máximo es la altura, pero saber dónde se alcanza suele ser lo importante: no es lo mismo decir «el beneficio máximo es 400 €» que «se consigue vendiendo 30 unidades».
8.3Expresión analítica de una función
La expresión analítica es la fórmula: . Es la forma más útil de dar una función, porque permite calcular cualquier valor sin dibujar nada.
Con la fórmula se hacen dos cosas distintas, y conviene no confundirlas:
- **Calcular **: se sustituye la por el número y se opera. Es directo.
- **Buscar la que da un valor**: se iguala la fórmula a ese valor y se resuelve la ecuación. Es el camino de vuelta.
Para , calcula y averigua para qué vale 7.
- 1Lo primero es sustituir, con paréntesis para no perder el signo.
- 2Lo segundo es al revés: se iguala a 7 y se resuelve.
Un punto pertenece a la gráfica exactamente cuando . Comprobarlo es sustituir y comparar, y sirve para revisar cualquier respuesta que dé un punto.
Practicar
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Cuando lo tengas trabajado, ponte a prueba con diez ejercicios de todo el tema.
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