Sistemas de ecuaciones

7.1Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Y aquí está la diferencia grande con el tema de ecuaciones: una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. En $x+y=10$ valen $(1,9)$, $(2,8)$, $(0,5,9,5)$… Fijas una y la otra queda determinada.

Si se dibujan todos esos pares en unos ejes, salen alineados: cada ecuación lineal es una recta. Esa idea es la que explica todo lo que viene después.

7.2Sistemas de ecuaciones lineales

Cada ecuación es una recta, así que resolver un sistema es buscar dónde se cortan las dos rectas. Esa imagen hace que el apartado 4 sea casi evidente.

Al comprobar una solución hay que sustituirla en las dos ecuaciones. Es fácil probar solo la primera, ver que cuadra y darla por buena.

7.3Sistemas equivalentes

• Multiplicar una ecuación entera por un número distinto de cero.
• Sumar o restar una ecuación a la otra.
• Sustituir una incógnita por su valor despejado en la otra ecuación.

Los tres métodos del apartado 5 no son tres inventos distintos: son tres formas de usar estas transformaciones para llegar a una ecuación con una sola incógnita, que ya se sabe resolver.

7.4Tipos de sistemas según el número de soluciones

Si cada ecuación es una recta, dos rectas del plano solo pueden estar de tres maneras. Y a cada una le corresponde un tipo de sistema:

• Se cortan en un punto → compatible determinado: una única solución.
• Son paralelas → incompatible: ninguna solución, porque no se tocan nunca.
• Son la misma recta → compatible indeterminado: infinitas soluciones.

Se puede saber cuál es sin resolver, comparando los coeficientes de las dos ecuaciones $ax+by=c$:

Lo que decide entre «ninguna» e «infinitas» es el término independiente. Si toda la ecuación está multiplicada por el mismo número, es la misma recta escrita de otra forma; si los coeficientes sí y el término independiente no, son paralelas y no hay solución.

7.5Métodos de resolución de sistemas

Los tres métodos llevan al mismo sitio. Lo que cambia es por dónde se empieza, y cuál conviene depende del sistema que tengas delante:

Si hay denominadores, quítalos antes de empezar, multiplicando cada ecuación entera por su mínimo común múltiplo. Y multiplica todos los términos, también el que está solo.

Cuando hayas encontrado las dos, compruébalas en las dos ecuaciones. Es la única forma de detectar un error de signo por el camino, y cuesta veinte segundos.

7.6Resolución de problemas mediante sistemas

La señal de que un problema pide un sistema es que hay dos cantidades desconocidas y el enunciado da dos informaciones que las relacionan. Casi siempre, cada frase con datos se convierte en una ecuación.

1. Decidir qué son la $x$ y la $y$, y escribirlo. Sin eso, a mitad del problema ya no se sabe qué es cada una.
2. Traducir cada dato del enunciado a una ecuación.
3. Resolver el sistema.
4. Comprobar en el enunciado, no en las ecuaciones: si te equivocaste al plantear, las ecuaciones te dirán que está bien.

Al terminar, mira si la respuesta es posible. Medio conejo, un precio negativo o 3,7 personas significan que hay un error en el planteamiento, no en las cuentas.