Tema 6Listo para practicar

Ecuaciones

Contenido del tema

6.1Ecuaciones. Solución de una ecuación
6.2Ecuaciones de primer grado
6.3Ecuaciones de segundo grado
6.4Resolución de problemas con ecuaciones

Teoría

6.1Ecuaciones. Solución de una ecuación

Ecuación

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que solo se cumple para algunos valores de la letra. Esa letra es la incógnita.

A cada lado del signo igual hay un miembro. Dentro de cada miembro, lo que está separado por sumas y restas son los términos.

3 x - 5 = x + 7

El primer miembro es 3x − 5 y el segundo, x + 7.

Solución

Una solución es un valor de la incógnita que hace que los dos miembros valgan lo mismo. Para comprobar si un número es solución, se sustituye y se opera: si sale una igualdad verdadera, lo es.

Ejemplo resuelto

¿Es $x = 6$ solución de la ecuación $3 x - 5 = x + 7$ ?

1
Sustituimos en el primer miembro.
$3 \cdot 6 - 5 = 18 - 5 = 13$
2
Sustituimos en el segundo miembro.
$6 + 7 = 13$
3
Los dos miembros valen 13, así que sí: $x = 6$ es solución.

El grado de una ecuación es el mayor exponente que tiene la incógnita una vez simplificada. De él depende el método que hay que usar y cuántas soluciones puede tener.

Grado 1: como máximo una solución.
Grado 2: como máximo dos soluciones.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. Resolver una ecuación consiste en ir escribiendo ecuaciones equivalentes cada vez más simples hasta dejar la incógnita sola.

Se obtiene una ecuación equivalente al sumar o restar lo mismo en los dos miembros, y al multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número distinto de cero.

Multiplicar o dividir por cero no vale: se pierden las soluciones. Es el error que convierte «demostraciones» falsas en algo que parece correcto.

6.2Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado se puede reducir siempre a la forma $a x = b$ , y de ahí sale la solución dividiendo. El método es siempre el mismo, en este orden:

Quitar denominadores: multiplicar todos los términos por el mínimo común múltiplo.
Quitar paréntesis multiplicando.
Agrupar: las x en un miembro, los números en el otro.
Reducir términos semejantes.
Dividir entre el coeficiente de la x.

Ejemplo resuelto

Resuelve la ecuación:

\frac{x}{2} + \frac{x - 3}{4} = 5 - x

1
El mínimo común múltiplo de 2 y 4 es 4. Multiplicamos todos los términos por 4.
$2 x + (x - 3) = 20 - 4 x$
2
Quitamos el paréntesis y reducimos.
$3 x - 3 = 20 - 4 x$
3
Agrupamos las x a la izquierda y los números a la derecha.
$3 x + 4 x = 20 + 3$
4
Reducimos y dividimos.
$7 x = 23 \Rightarrow x = \frac{23}{7}$

Al multiplicar por el mínimo común múltiplo hay que multiplicar todos los términos, también los que no tienen denominador. Olvidarse del que está solo es el fallo más frecuente.

No todas las ecuaciones de primer grado tienen una solución. Si al agrupar desaparecen las x, hay dos posibilidades:

Queda una igualdad falsa, como $0 = 5$ : la ecuación no tiene solución.
Queda una igualdad verdadera, como $0 = 0$ : la ecuación tiene infinitas soluciones, se cumple con cualquier número.

6.3Ecuaciones de segundo grado

Forma general

Una ecuación de segundo grado es la que se puede escribir como $a x^{2} + b x + c = 0$ , con $a \neq = 0$ . Antes de resolver hay que dejarla siempre así: todo en un miembro y cero en el otro.

Cuando falta el término $b x$ o el término $c$ , la ecuación es incompleta y sale más rápido sin la fórmula general.

Ejemplo resuelto

Incompleta sin término independiente: se saca factor común.

2 x^{2} - 10 x = 0

1
Sacamos x como factor común.
$x (2 x - 10) = 0$
2
Un producto vale cero si uno de los factores es cero.
$x = 0 o 2 x - 10 = 0$
3
Las dos soluciones son:
$x_{1} = 0, x_{2} = 5$

Ejemplo resuelto

Incompleta sin término en x: se despeja el cuadrado.

3 x^{2} - 27 = 0

1
Despejamos $x^{2}$ .
$x^{2} = \frac{27}{3} = 9$
2
Hacemos la raíz cuadrada, con los dos signos.
$x = \pm 9 = \pm 3$

Al despejar un cuadrado siempre hay dos soluciones, una positiva y otra negativa. Quedarse solo con la positiva es el error más habitual del tema. Y si sale $x^{2}$ igual a un número negativo, no hay solución real.

Fórmula general

Para la ecuación completa, la solución sale siempre de esta fórmula. Conviene sabérsela de memoria:

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Discriminante

Lo que hay dentro de la raíz se llama discriminante y se escribe $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Su signo dice cuántas soluciones hay antes de terminar la cuenta.

$Δ > 0$ : dos soluciones distintas.
$Δ = 0$ : una única solución (doble).
$Δ < 0$ : ninguna solución real.

Ejemplo resuelto

Resuelve la ecuación:

x^{2} - 5 x + 6 = 0

1
Identificamos los coeficientes: $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$ .
2
Calculamos el discriminante.
$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
3
Es positivo, así que hay dos soluciones. Aplicamos la fórmula.
$x = \frac{5 \pm 1}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$
4
Separamos los dos signos.
$x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2, x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

En la fórmula, $- b$ significa «el opuesto de b». Si $b$ ya era negativo, $- b$ sale positivo. Y en $b^{2}$ el cuadrado se aplica al signo también: $(- 5)^{2} = 25$ , no $- 25$ .

6.4Resolución de problemas con ecuaciones

En un problema lo difícil no es resolver la ecuación, es escribirla. Estos cinco pasos funcionan casi siempre:

Leer y decidir qué es lo que no se sabe. Eso es la x.
Escribir los demás datos en función de la x.
Traducir la frase clave del enunciado a una igualdad.
Resolver la ecuación.
Comprobar en el enunciado y descartar las soluciones imposibles.

Ejemplo resuelto

La base de un rectángulo mide 3 cm más que su altura y su área es de 54 cm². Calcula sus dimensiones.

1
Lo que no sabemos es la altura: la llamamos x. Entonces la base es $x + 3$ .
2
El área de un rectángulo es base por altura, y sabemos que vale 54.
$x (x + 3) = 54$
3
Pasamos a la forma general.
$x^{2} + 3 x - 54 = 0$
4
Aplicamos la fórmula general.
$x = \frac{- 3 \pm 9 + 216}{2} = \frac{- 3 \pm 15}{2}$
5
Salen $x = 6$ y $x = - 9$ . Una longitud no puede ser negativa, así que descartamos la segunda.
6
La altura mide 6 cm y la base 9 cm. Comprobamos: $6 \cdot 9 = 54$ . Correcto.

En los problemas hay que volver al enunciado al final. Una ecuación puede tener dos soluciones correctas y que solo una tenga sentido: no existen longitudes negativas, ni edades negativas, ni 2,5 personas.

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