Tema 5Listo para practicar

El lenguaje algebraico

Contenido del tema

5.1Expresiones algebraicas
5.2Monomios
5.3Polinomios
5.4Identidades notables
5.5División de polinomios

Teoría

5.1Expresiones algebraicas

El álgebra sirve para decir con letras lo que no se puede decir con números concretos: reglas que valen para cualquier número. «El doble de un número» son infinitos casos, y se escriben todos a la vez con $2 x$ .

Expresión algebraica

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por operaciones. Las letras se llaman variables o indeterminadas.

Lo difícil no es operar, es traducir. Conviene fijarse en estas equivalencias:

El doble de un número: $2 x$ .
La mitad de un número: $\frac{x}{2}$ .
El siguiente de un número: $x + 1$ . El anterior: $x - 1$ .
Un número par: $2 x$ . Uno impar: $2 x + 1$ .
El cuadrado de un número: $x^{2}$ . El doble de su cuadrado: $2 x^{2}$ .

Cuidado con «el cuadrado del doble» y «el doble del cuadrado»: el primero es $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ y el segundo es $2 x^{2}$ . No son lo mismo, y la diferencia está en dónde va el paréntesis.

Valor numérico

El valor numérico de una expresión es el número que sale al sustituir la letra por un valor concreto y operar.

Ejemplo resuelto

Calcula el valor numérico de $2 x^{2} - 5 x + 1$ para $x = - 3$ .

1
Sustituimos, poniendo el número entre paréntesis.
$2 (- 3)^{2} - 5 (- 3) + 1$
2
Primero las potencias: $(- 3)^{2} = 9$ , positivo.
$2 \cdot 9 + 15 + 1$
3
Operamos.
$18 + 15 + 1 = 34$

Sin el paréntesis, $- 3^{2}$ significa $- (3^{2}) = - 9$ , mientras que $(- 3)^{2} = 9$ . Poner siempre el paréntesis al sustituir evita el error más común del tema.

5.2Monomios

Monomio

Un monomio es una expresión algebraica con un solo término: un número multiplicando a una potencia de la letra. El número es el coeficiente, la letra con su exponente es la parte literal, y el exponente es el grado.

- 5 x^{3}

Coeficiente −5, parte literal x³, grado 3.

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes si tienen exactamente la misma parte literal. Solo los semejantes se pueden sumar o restar.

Las tres operaciones funcionan así:

Sumar o restar (solo semejantes): se suman los coeficientes y la parte literal se queda igual. $3 x^{2} + 5 x^{2} = 8 x^{2}$ .
Multiplicar (cualesquiera): se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes. $3 x^{2} \cdot 4 x^{3} = 12 x^{5}$ .
Dividir: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes. $\frac{12 x ^{5}}{4 x ^{2}} = 3 x^{3}$ .

Al sumar semejantes, el exponente no se toca: $3 x^{2} + 5 x^{2}$ es $8 x^{2}$ , no $8 x^{4}$ . Sumar exponentes es cosa de la multiplicación. Y $3 x^{2} + 5 x^{3}$ no se puede simplificar: no son semejantes y se quedan como están.

5.3Polinomios

Polinomio

Un polinomio es una suma de monomios no semejantes. Su grado es el mayor de los grados de sus términos, y el término independiente es el que no lleva letra.

P (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + x - 7

Grado 3, término independiente −7.

Para sumar dos polinomios se juntan los términos semejantes. Para restar, lo mismo, pero antes hay que cambiar el signo de todos los términos del segundo.

Ejemplo resuelto

Resta los polinomios:

(3 x^{2} - 5 x + 2) - (x^{2} + 4 x - 6)

1
El menos de delante del paréntesis cambia el signo de los tres términos.
$3 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} - 4 x + 6$
2
Agrupamos los semejantes.
$(3 - 1) x^{2} + (- 5 - 4) x + (2 + 6)$
3
Queda:
$2 x^{2} - 9 x + 8$

El fallo típico de la resta es cambiar el signo solo del primer término del paréntesis. Cambia el de todos, incluido el término independiente.

Para multiplicar, cada término del primero multiplica a cada término del segundo, y después se agrupan los semejantes.

Ejemplo resuelto

Desarrolla el producto:

(x + 3) (x - 5)

1
Cuatro productos: cada término del primero por cada uno del segundo.
$x \cdot x + x \cdot (- 5) + 3 \cdot x + 3 \cdot (- 5)$
2
Operamos cada uno.
$x^{2} - 5 x + 3 x - 15$
3
Agrupamos los términos en x.
$x^{2} - 2 x - 15$

5.4Identidades notables

Hay tres productos que salen tantas veces que compensa sabérselos de memoria en lugar de desarrollarlos cada vez. Se llaman identidades notables, y son igualdades ciertas para cualquier valor de las letras.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Cuadrado de una suma.

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Cuadrado de una diferencia. El último término suma siempre.

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Suma por diferencia: el término del medio desaparece.

$(a + b)^{2}$ no es $a^{2} + b^{2}$ . Elevar al cuadrado no es repartir el cuadrado entre los sumandos: falta el doble producto $2 ab$ . Se ve con números: $(3 + 4)^{2} = 49$ , mientras que $3^{2} + 4^{2} = 25$ .

Ejemplo resuelto

Desarrolla:

(3 x - 4)^{2}

1
Aquí «el primero» es $3 x$ y «el segundo» es $4$ .
$(3 x)^{2} - 2 \cdot 3 x \cdot 4 + 4^{2}$
2
Ojo con el cuadrado del primero: el 3 también se eleva.
$9 x^{2} - 24 x + 16$

Las identidades también se usan al revés, para factorizar: si reconoces la forma desarrollada, puedes escribirla como un producto.

$x^{2} + 10 x + 25$ es $(x + 5)^{2}$ , porque 25 es $5^{2}$ y 10 es $2 \cdot 5$ .
$x^{2} - 49$ es $(x + 7) (x - 7)$ : dos cuadrados restándose.

5.5División de polinomios

Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada término, uno por uno.

\frac{6 x ^{3} - 9 x ^{2} + 3 x}{3 x} = 2 x^{2} - 3 x + 1

El último término no desaparece: $3 x$ dividido entre $3 x$ es $1$ , no $0$ . Es el error más frecuente de esta división.

En una división de polinomios se cumple lo mismo que con los números: dividendo = divisor × cociente + resto, y el resto tiene grado menor que el divisor.

Teorema del resto

El resto de dividir un polinomio $P (x)$ entre $x - a$ es exactamente $P (a)$ . Es decir: se puede saber el resto sin hacer la división, solo calculando un valor numérico.

Ejemplo resuelto

Calcula el resto de dividir $P (x) = x^{2} - 5 x + 3$ entre $x - 2$ .

1
El divisor es $x - 2$ , así que $a = 2$ . Calculamos $P (2)$ .
$P (2) = 2^{2} - 5 \cdot 2 + 3 = 4 - 10 + 3 = - 3$
2
El resto es −3.

Fíjate en el signo: para dividir entre $x - 2$ se sustituye por $+ 2$ , y para dividir entre $x + 2$ se sustituye por $- 2$ . Se busca el valor que anula el divisor.

De aquí sale una consecuencia útil: $P (x)$ es divisible entre $x - a$ exactamente cuando $P (a) = 0$ . Y en ese caso $a$ es una raíz del polinomio, la misma idea que la solución de una ecuación.

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