Tema 5Llest per a practicar

El llenguatge algebraic

Contingut del tema

5.1Expressions algebraiques
5.2Monomis
5.3Polinomis
5.4Identitats notables
5.5Divisió de polinomis

Teoria

5.1Expressions algebraiques

L’àlgebra servix per a dir amb lletres el que no es pot dir amb nombres concrets: regles que valen per a qualsevol nombre. «El doble d’un nombre» són infinits casos, i s’escriuen tots alhora amb $2 x$ .

Expressió algebraica

Una expressió algebraica és una combinació de nombres i lletres units per operacions. Les lletres s’anomenen variables o indeterminades.

El difícil no és operar, és traduir. Convé fixar-se en estes equivalències:

El doble d’un nombre: $2 x$ .
La meitat d’un nombre: $\frac{x}{2}$ .
El següent d’un nombre: $x + 1$ . L’anterior: $x - 1$ .
Un nombre parell: $2 x$ . Un d’imparell: $2 x + 1$ .
El quadrat d’un nombre: $x^{2}$ . El doble del seu quadrat: $2 x^{2}$ .

Compte amb «el quadrat del doble» i «el doble del quadrat»: el primer és $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ i el segon és $2 x^{2}$ . No són el mateix, i la diferència està en on va el parèntesi.

Valor numèric

El valor numèric d’una expressió és el nombre que ix al substituir la lletra per un valor concret i operar.

Exemple resolt

Calcula el valor numèric de $2 x^{2} - 5 x + 1$ per a $x = - 3$ .

1
Substituïm, posant el nombre entre parèntesis.
$2 (- 3)^{2} - 5 (- 3) + 1$
2
Primer les potències: $(- 3)^{2} = 9$ , positiu.
$2 \cdot 9 + 15 + 1$
3
Operem.
$18 + 15 + 1 = 34$

Sense el parèntesi, $- 3^{2}$ significa $- (3^{2}) = - 9$ , mentre que $(- 3)^{2} = 9$ . Posar sempre el parèntesi al substituir evita l’error més comú del tema.

5.2Monomis

Monomi

Un monomi és una expressió algebraica amb un sol terme: un nombre multiplicant una potència de la lletra. El nombre és el coeficient, la lletra amb el seu exponent és la part literal, i l’exponent és el grau.

- 5 x^{3}

Coeficient −5, part literal x³, grau 3.

Monomis semblants

Dos monomis són semblants si tenen exactament la mateixa part literal. Només els semblants es poden sumar o restar.

Les tres operacions funcionen així:

Sumar o restar (només semblants): se sumen els coeficients i la part literal es queda igual. $3 x^{2} + 5 x^{2} = 8 x^{2}$ .
Multiplicar (qualssevol): es multipliquen els coeficients i se sumen els exponents. $3 x^{2} \cdot 4 x^{3} = 12 x^{5}$ .
Dividir: es dividixen els coeficients i es resten els exponents. $\frac{12 x ^{5}}{4 x ^{2}} = 3 x^{3}$ .

Al sumar semblants, l’exponent no es toca: $3 x^{2} + 5 x^{2}$ és $8 x^{2}$ , no $8 x^{4}$ . Sumar exponents és cosa de la multiplicació. I $3 x^{2} + 5 x^{3}$ no es pot simplificar: no són semblants i es queden com estan.

5.3Polinomis

Polinomi

Un polinomi és una suma de monomis no semblants. El seu grau és el major dels graus dels seus termes, i el terme independent és el que no porta lletra.

P (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + x - 7

Grau 3, terme independent −7.

Per a sumar dos polinomis s’ajunten els termes semblants. Per a restar, el mateix, però abans cal canviar el signe de tots els termes del segon.

Exemple resolt

Resta els polinomis:

(3 x^{2} - 5 x + 2) - (x^{2} + 4 x - 6)

1
El menys de davant del parèntesi canvia el signe dels tres termes.
$3 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} - 4 x + 6$
2
Agrupem els semblants.
$(3 - 1) x^{2} + (- 5 - 4) x + (2 + 6)$
3
Queda:
$2 x^{2} - 9 x + 8$

La fallada típica de la resta és canviar el signe només del primer terme del parèntesi. Canvia el de tots, inclòs el terme independent.

Per a multiplicar, cada terme del primer multiplica cada terme del segon, i després s’agrupen els semblants.

Exemple resolt

Desenvolupa el producte:

(x + 3) (x - 5)

1
Quatre productes: cada terme del primer per cadascun del segon.
$x \cdot x + x \cdot (- 5) + 3 \cdot x + 3 \cdot (- 5)$
2
Operem cadascun.
$x^{2} - 5 x + 3 x - 15$
3
Agrupem els termes en x.
$x^{2} - 2 x - 15$

5.4Identitats notables

Hi ha tres productes que ixen tantes vegades que compensa saber-se’ls de memòria en lloc de desenvolupar-los cada vegada. S’anomenen identitats notables, i són igualtats certes per a qualsevol valor de les lletres.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Quadrat d’una suma.

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Quadrat d’una diferència. L’últim terme suma sempre.

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Suma per diferència: el terme del mig desapareix.

$(a + b)^{2}$ no és $a^{2} + b^{2}$ . Elevar al quadrat no és repartir el quadrat entre els sumands: falta el doble producte $2 ab$ . Es veu amb nombres: $(3 + 4)^{2} = 49$ , mentre que $3^{2} + 4^{2} = 25$ .

Exemple resolt

Desenvolupa:

(3 x - 4)^{2}

1
Ací «el primer» és $3 x$ i «el segon» és $4$ .
$(3 x)^{2} - 2 \cdot 3 x \cdot 4 + 4^{2}$
2
Ull amb el quadrat del primer: el 3 també s’eleva.
$9 x^{2} - 24 x + 16$

Les identitats també s’usen al revés, per a factoritzar: si reconeixes la forma desenvolupada, pots escriure-la com un producte.

$x^{2} + 10 x + 25$ és $(x + 5)^{2}$ , perquè 25 és $5^{2}$ i 10 és $2 \cdot 5$ .
$x^{2} - 49$ és $(x + 7) (x - 7)$ : dos quadrats restant-se.

5.5Divisió de polinomis

Per a dividir un polinomi entre un monomi n’hi ha prou amb dividir cada terme, un per un.

\frac{6 x ^{3} - 9 x ^{2} + 3 x}{3 x} = 2 x^{2} - 3 x + 1

L’últim terme no desapareix: $3 x$ dividit entre $3 x$ és $1$ , no $0$ . És l’error més freqüent d’esta divisió.

En una divisió de polinomis es complix el mateix que amb els nombres: dividend = divisor × quocient + residu, i el residu té grau menor que el divisor.

Teorema del residu

El residu de dividir un polinomi $P (x)$ entre $x - a$ és exactament $P (a)$ . És a dir: es pot saber el residu sense fer la divisió, només calculant un valor numèric.

Exemple resolt

Calcula el residu de dividir $P (x) = x^{2} - 5 x + 3$ entre $x - 2$ .

1
El divisor és $x - 2$ , per tant $a = 2$ . Calculem $P (2)$ .
$P (2) = 2^{2} - 5 \cdot 2 + 3 = 4 - 10 + 3 = - 3$
2
El residu és −3.

Fixa’t en el signe: per a dividir entre $x - 2$ se substituïx per $+ 2$ , i per a dividir entre $x + 2$ se substituïx per $- 2$ . Es busca el valor que anul·la el divisor.

D’ací ix una conseqüència útil: $P (x)$ és divisible entre $x - a$ exactament quan $P (a) = 0$ . I en eixe cas $a$ és una arrel del polinomi, la mateixa idea que la solució d’una equació.

Practicar

Preparant l’exercici…

Fer la prova del tema

Quan el tingues treballat, posa’t a prova amb deu exercicis de tot el tema.

Fer la prova del tema