Tema 6Llest per a practicar

Equacions

Contingut del tema

6.1Equacions. Solució d'una equació
6.2Equacions de primer grau
6.3Equacions de segon grau
6.4Resolució de problemes amb equacions

Teoria

6.1Equacions. Solució d'una equació

Equació

Una equació és una igualtat entre dues expressions algebraiques que només es complix per a alguns valors de la lletra. Eixa lletra és la incògnita.

A cada costat del signe igual hi ha un membre. Dins de cada membre, el que està separat per sumes i restes són els termes.

3 x - 5 = x + 7

El primer membre és 3x − 5 i el segon, x + 7.

Solució

Una solució és un valor de la incògnita que fa que els dos membres valguen el mateix. Per a comprovar si un nombre és solució, se substituïx i s’opera: si ix una igualtat verdadera, ho és.

Exemple resolt

És $x = 6$ solució de l’equació $3 x - 5 = x + 7$ ?

1
Substituïm en el primer membre.
$3 \cdot 6 - 5 = 18 - 5 = 13$
2
Substituïm en el segon membre.
$6 + 7 = 13$
3
Els dos membres valen 13, per tant sí: $x = 6$ és solució.

El grau d’una equació és el major exponent que té la incògnita una vegada simplificada. D’ell depén el mètode que cal usar i quantes solucions pot tindre.

Grau 1: com a màxim una solució.
Grau 2: com a màxim dues solucions.

Equacions equivalents

Dues equacions són equivalents si tenen exactament les mateixes solucions. Resoldre una equació consistix a anar escrivint equacions equivalents cada vegada més simples fins a deixar la incògnita sola.

S’obté una equació equivalent al sumar o restar el mateix en els dos membres, i al multiplicar o dividir els dos membres per un mateix nombre distint de zero.

Multiplicar o dividir per zero no val: es perden les solucions. És l’error que convertix «demostracions» falses en una cosa que sembla correcta.

6.2Equacions de primer grau

Una equació de primer grau es pot reduir sempre a la forma $a x = b$ , i d’ací ix la solució dividint. El mètode és sempre el mateix, en este ordre:

Llevar denominadors: multiplicar tots els termes pel mínim comú múltiple.
Llevar parèntesis multiplicant.
Agrupar: les x en un membre, els nombres en l’altre.
Reduir termes semblants.
Dividir pel coeficient de la x.

Exemple resolt

Resol l'equació:

\frac{x}{2} + \frac{x - 3}{4} = 5 - x

1
El mínim comú múltiple de 2 i 4 és 4. Multipliquem tots els termes per 4.
$2 x + (x - 3) = 20 - 4 x$
2
Llevem el parèntesi i reduïm.
$3 x - 3 = 20 - 4 x$
3
Agrupem les x a l’esquerra i els nombres a la dreta.
$3 x + 4 x = 20 + 3$
4
Reduïm i dividim.
$7 x = 23 \Rightarrow x = \frac{23}{7}$

Al multiplicar pel mínim comú múltiple cal multiplicar tots els termes, també els que no tenen denominador. Oblidar-se del que està sol és la fallada més freqüent.

No totes les equacions de primer grau tenen una solució. Si al agrupar desapareixen les x, hi ha dues possibilitats:

Queda una igualtat falsa, com $0 = 5$ : l’equació no té solució.
Queda una igualtat verdadera, com $0 = 0$ : l’equació té infinites solucions, es complix amb qualsevol nombre.

6.3Equacions de segon grau

Forma general

Una equació de segon grau és la que es pot escriure com $a x^{2} + b x + c = 0$ , amb $a \neq = 0$ . Abans de resoldre cal deixar-la sempre així: tot en un membre i zero en l’altre.

Quan falta el terme $b x$ o el terme $c$ , l’equació és incompleta i ix més ràpid sense la fórmula general.

Exemple resolt

Incompleta sense terme independent: es trau factor comú.

2 x^{2} - 10 x = 0

1
Traiem x com a factor comú.
$x (2 x - 10) = 0$
2
Un producte val zero si un dels factors és zero.
$x = 0 o 2 x - 10 = 0$
3
Les dues solucions són:
$x_{1} = 0, x_{2} = 5$

Exemple resolt

Incompleta sense terme en x: s’aïlla el quadrat.

3 x^{2} - 27 = 0

1
Aïllem $x^{2}$ .
$x^{2} = \frac{27}{3} = 9$
2
Fem l’arrel quadrada, amb els dos signes.
$x = \pm 9 = \pm 3$

Al aïllar un quadrat sempre hi ha dues solucions, una positiva i una altra negativa. Quedar-se només amb la positiva és l’error més habitual del tema. I si ix $x^{2}$ igual a un nombre negatiu, no hi ha solució real.

Fórmula general

Per a l’equació completa, la solució ix sempre d’esta fórmula. Convé saber-se-la de memòria:

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Discriminant

El que hi ha dins de l’arrel es diu discriminant i s’escriu $Δ = b^{2} - 4 a c$ . El seu signe diu quantes solucions hi ha abans d’acabar el compte.

$Δ > 0$ : dues solucions distintes.
$Δ = 0$ : una única solució (doble).
$Δ < 0$ : cap solució real.

Exemple resolt

Resol l'equació:

x^{2} - 5 x + 6 = 0

1
Identifiquem els coeficients: $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$ .
2
Calculem el discriminant.
$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
3
És positiu, per tant hi ha dues solucions. Apliquem la fórmula.
$x = \frac{5 \pm 1}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$
4
Separem els dos signes.
$x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2, x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

En la fórmula, $- b$ significa «l’oposat de b». Si $b$ ja era negatiu, $- b$ ix positiu. I en $b^{2}$ el quadrat s’aplica al signe també: $(- 5)^{2} = 25$ , no $- 25$ .

6.4Resolució de problemes amb equacions

En un problema el difícil no és resoldre l’equació, és escriure-la. Estos cinc passos funcionen quasi sempre:

Llegir i decidir què és el que no se sap. Això és la x.
Escriure les altres dades en funció de la x.
Traduir la frase clau de l’enunciat a una igualtat.
Resoldre l’equació.
Comprovar en l’enunciat i descartar les solucions impossibles.

Exemple resolt

La base d’un rectangle fa 3 cm més que la seua altura i la seua àrea és de 54 cm². Calcula les seues dimensions.

1
El que no sabem és l’altura: li diem x. Aleshores la base és $x + 3$ .
2
L’àrea d’un rectangle és base per altura, i sabem que val 54.
$x (x + 3) = 54$
3
Passem a la forma general.
$x^{2} + 3 x - 54 = 0$
4
Apliquem la fórmula general.
$x = \frac{- 3 \pm 9 + 216}{2} = \frac{- 3 \pm 15}{2}$
5
Ixen $x = 6$ i $x = - 9$ . Una longitud no pot ser negativa, per tant descartem la segona.
6
L’altura fa 6 cm i la base 9 cm. Comprovem: $6 \cdot 9 = 54$ . Correcte.

En els problemes cal tornar a l’enunciat al final. Una equació pot tindre dues solucions correctes i que només una tinga sentit: no existixen longituds negatives, ni edats negatives, ni 2,5 persones.

Practicar

Preparant l’exercici…

Fer la prova del tema

Quan el tingues treballat, posa’t a prova amb deu exercicis de tot el tema.

Fer la prova del tema