Tema 7Llest per a practicar

Sistemes d'equacions

Contingut del tema

7.1Equacions lineals amb dues incògnites
7.2Sistemes d'equacions lineals
7.3Sistemes equivalents
7.4Tipus de sistemes segons el nombre de solucions
7.5Mètodes de resolució de sistemes
7.6Resolució de problemes mitjançant sistemes

Teoria

7.1Equacions lineals amb dues incògnites

Equació lineal amb dues incògnites

És una equació de la forma $a x + b y = c$ . La seua solució no és un nombre, sinó un parell de valors: un per a la $x$ i un altre per a la $y$ .

I ací està la diferència gran amb el tema d’equacions: una equació amb dues incògnites té infinites solucions. En $x + y = 10$ valen $(1, 9)$ , $(2, 8)$ , $(0, 5, 9, 5)$ … Fixes una i l’altra queda determinada.

Si es dibuixen tots eixos parells en uns eixos, ixen alineats: cada equació lineal és una recta. Eixa idea és la que explica tot el que ve després.

Exemple resolt

Aïlla la $y$ en $3 x + 2 y = 12$ .

1
Deixem només el terme amb y en un membre.
$2 y = 12 - 3 x$
2
I dividim entre 2.
$y = \frac{12 - 3 x}{2}$
3
Ara, donant-li valors a la x, ixen totes les solucions que vulgues.

7.2Sistemes d’equacions lineals

Sistema d’equacions

Un sistema són dues equacions que s’han de complir alhora. La seua solució és el parell que satisfà les dues: complir només una no servix de res.

{2 x + y = 7 x - y = 2

Cada equació és una recta. On es tallen està la solució: x = 3, y = 1.

Cada equació és una recta, per tant resoldre un sistema és buscar on es tallen les dues rectes. Eixa imatge fa que l’apartat 4 siga quasi evident.

Al comprovar una solució cal substituir-la en les dues equacions. És fàcil provar només la primera, vore que quadra i donar-la per bona.

7.3Sistemes equivalents

Sistemes equivalents

Dos sistemes són equivalents si tenen la mateixa solució. Resoldre un sistema és anar canviant-lo per altres equivalents cada vegada més simples, igual que es feia amb les equacions.

Multiplicar una equació sencera per un nombre distint de zero.
Sumar o restar una equació a l’altra.
Substituir una incògnita pel seu valor aïllat en l’altra equació.

Els tres mètodes de l’apartat 5 no són tres invents distints: són tres formes d’usar estes transformacions per a arribar a una equació amb una sola incògnita, que ja se sap resoldre.

7.4Tipus de sistemes segons el nombre de solucions

Si cada equació és una recta, dues rectes del pla només poden estar de tres maneres. I a cadascuna li correspon un tipus de sistema:

Es tallen en un punt → compatible determinat: una única solució.
Són paral·leles → incompatible: cap solució, perquè no es toquen mai.
Són la mateixa recta → compatible indeterminat: infinites solucions.

Es pot saber quin és sense resoldre, comparant els coeficients de les dues equacions $a x + b y = c$ :

\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}} (una) \frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}} (ninguna) \frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}} (infinitas)

Les dues rectes del mateix pendent són paral·leles: eixe sistema no té solució. La tercera talla cadascuna en un punt.

El que decidix entre «cap» i «infinites» és el terme independent. Si tota l’equació està multiplicada pel mateix nombre, és la mateixa recta escrita d’una altra manera; si els coeficients sí i el terme independent no, són paral·leles i no hi ha solució.

7.5Mètodes de resolució de sistemes

Els tres mètodes porten al mateix lloc. El que canvia és per on es comença, i quin convé depén del sistema que tingues davant:

Substitució

S’aïlla una incògnita en una equació i se substituïx en l’altra. És el més còmode quan alguna incògnita té coeficient 1, perquè s’aïlla sense fraccions.

Igualació

S’aïlla la mateixa incògnita en les dues equacions i s’igualen les dues expressions. Va bé quan eixa incògnita s’aïlla fàcil en ambdues.

Reducció

Es multiplica cada equació pel que faça falta perquè els coeficients d’una incògnita siguen oposats, i se sumen les dues: eixa incògnita desapareix. És el millor quan no hi ha cap coeficient 1.

Exemple resolt

Resol per reducció:

{3 x + 2 y = 16 5 x - 2 y = 8

1
Els coeficients de la y ja són oposats, per tant sumem les dues equacions i la y se’n va.
$8 x = 24$
2
D’ahí ix la x.
$x = 3$
3
I substituint en qualsevol de les dues, la y.
$3 \cdot 3 + 2 y = 16 \Rightarrow y = 3, 5$

Si hi ha denominadors, lleva’ls abans de començar, multiplicant cada equació sencera pel seu mínim comú múltiple. I multiplica tots els termes, també el que està sol.

Quan hages trobat les dues, comprova-les en les dues equacions. És l’única manera de detectar un error de signe pel camí, i costa vint segons.

7.6Resolució de problemes mitjançant sistemes

El senyal que un problema demana un sistema és que hi ha dues quantitats desconegudes i l’enunciat dona dues informacions que les relacionen. Quasi sempre, cada frase amb dades es convertix en una equació.

Decidir què són la $x$ i la $y$ , i escriure-ho. Sense això, a mitjan problema ja no se sap què és cadascuna.
Traduir cada dada de l’enunciat a una equació.
Resoldre el sistema.
Comprovar en l’enunciat, no en les equacions: si et vas equivocar al plantejar, les equacions et diran que està bé.

Exemple resolt

En un corral hi ha gallines i conills. Hi ha 20 caps i 56 potes. Quants n’hi ha de cada?

1
Diem x a les gallines i y als conills. Una equació compta caps i l’altra potes.
${x + y = 20 2 x + 4 y = 56$
2
Restant a la segona el doble de la primera desapareixen les gallines.
$2 y = 56 - 40 = 16$
3
I d’ahí, les dues quantitats.
$y = 8 x = 12$
4
Comprovem en l’enunciat: 12 + 8 són 20 caps, i 24 + 32 són 56 potes.

En acabar, mira si la resposta és possible. Mig conill, un preu negatiu o 3,7 persones signifiquen que hi ha un error en el plantejament, no en els comptes.

Practicar

Preparant l’exercici…

Fer la prova del tema

Quan el tingues treballat, posa’t a prova amb deu exercicis de tot el tema.

Fer la prova del tema