Tema 4Llest per a practicar

Progressions

Contingut del tema

4.1Successions
4.2Progressions aritmètiques
4.3Progressions geomètriques
4.4Aplicacions de les progressions geomètriques

Teoria

4.1Successions

Successió

Una successió és una llista ordenada de nombres. Cadascun és un terme, i el lloc que ocupa importa: s’escriuen $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ … El subíndex és la posició, no el valor.

Terme general

El terme general $a_{n}$ és una fórmula que dona qualsevol terme a partir de la seua posició. És el més útil d’una successió: amb ella es pot saber el terme 500 sense escriure els 499 anteriors.

a_{n} = 3 n - 1 ⟶ 2, 5, 8, 11, \dots

Per a reconéixer de quin tipus és una successió hi ha dues preguntes, i en este ordre:

Al restar cada terme del següent ix sempre el mateix? Aleshores és aritmètica.
Al dividir cada terme pel anterior ix sempre el mateix? Aleshores és geomètrica.

No totes les successions són d’un d’eixos dos tipus. En $1, 3, 6, 10, 15 \dots$ les diferències són 2, 3, 4, 5: ni la diferència es manté ni el quocient. És una successió perfectament normal, però no és una progressió.

4.2Progressions aritmètiques

Progressió aritmètica

És aquella en la qual cada terme s’obté sumant a l’anterior un nombre fix, anomenat diferència $d$ . Si $d$ és positiva la successió creix, i si és negativa decreix.

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

El $n - 1$ és el que més es falla. Del terme 1 al terme 5 hi ha quatre salts, no cinc: el primer terme encara no ha sumat res. Pensa en els dits d’una mà i els buits entre ells.

Suma dels n primers termes

La suma es calcula emparellant el primer amb l’últim, el segon amb el penúltim… Totes eixes parelles sumen el mateix, i hi ha $n /2$ parelles.

S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) \cdot n}{2}

Exemple resolt

Suma els 20 primers termes de la progressió aritmètica que comença en 4 amb diferència 3.

1
Primer fa falta el terme 20.
$a_{20} = 4 + (20 - 1) \cdot 3 = 61$
2
I ara la suma.
$\frac{( 4 + 61 ) \cdot 20}{2} = 650$

Conta la història que a Gauss, de xiquet, li van manar sumar els nombres de l’1 al 100 per a tindre’l entretingut. Ho va resoldre en un moment emparellant 1 amb 100, 2 amb 99… cinquanta parelles de 101. Això és exactament esta fórmula.

4.3Progressions geomètriques

Progressió geomètrica

És aquella en la qual cada terme s’obté multiplicant l’anterior per un nombre fix, anomenat raó $r$ .

a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}

Apareix el mateix $n - 1$ que en les aritmètiques, i pel mateix motiu: el primer terme encara no s’ha multiplicat per res.

S_{n} = \frac{a _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}

Suma dels n primers termes.

Ull amb el signe de la raó. Si $r$ és negativa, els termes van alternant de signe: $3, - 6, 12, - 24 \dots$ I al elevar, un exponent parell deixa el resultat positiu.

En els problemes de creixement hi ha una trampa de comptatge. «Al cap de 5 hores, multiplicant-se per 2 cada hora» és $a \cdot 2^{5}$ , amb exponent 5, no 4: al començar encara no s’havia multiplicat cap vegada, per tant el moment inicial és el terme $a_{1}$ i les 5 hores són 5 multiplicacions.

4.4Aplicacions de les progressions geomètriques

Les progressions geomètriques descriuen tot el que creix o minva un percentatge fix cada vegada: els diners a interés compost, la població, un cotxe que perd valor, la càrrega d’una bateria.

És el mateix índex de variació del tema de problemes aritmètics: perdre un $20%$ cada any és una progressió geomètrica de raó $0, 8$ .

Suma d’infinits termes

Quan la raó està entre $- 1$ i $1$ , cada terme és més menut que l’anterior i es van fent diminuts. Aleshores es poden sumar infinits termes i eixir un nombre finit.

S = \frac{a _{1}}{1 - r} si ∣ r ∣ < 1

Exemple resolt

Suma tots els termes de la progressió $4, 2, 1, 0, 5, \dots$

1
La raó és 0,5, que està entre −1 i 1, per tant es pot.
$\frac{4}{1 - 0 , 5} = \frac{4}{0 , 5} = 8$
2
Sumant infinits nombres positius ix 8. No és màgia: els termes es fan tan menuts tan de pressa que mai arriben a passar d’ahí.

Esta fórmula **només val si $∣ r ∣ < 1$ **. Amb raó 2 els termes creixen sense parar i la suma no té cap valor finit: aplicar la fórmula ahí dona un nombre que no significa res.

Practicar

Preparant l’exercici…

Fer la prova del tema

Quan el tingues treballat, posa’t a prova amb deu exercicis de tot el tema.

Fer la prova del tema