Tema 4Listo para practicar

Progresiones

Contenido del tema

4.1Sucesiones
4.2Progresiones aritméticas
4.3Progresiones geométricas
4.4Aplicaciones de las progresiones geométricas

Teoría

4.1Sucesiones

Sucesión

Una sucesión es una lista ordenada de números. Cada uno es un término, y el lugar que ocupa importa: se escriben $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ … El subíndice es la posición, no el valor.

Término general

El término general $a_{n}$ es una fórmula que da cualquier término a partir de su posición. Es lo más útil de una sucesión: con ella se puede saber el término 500 sin escribir los 499 anteriores.

a_{n} = 3 n - 1 ⟶ 2, 5, 8, 11, \dots

Para reconocer de qué tipo es una sucesión hay dos preguntas, y en este orden:

¿Al restar cada término del siguiente sale siempre lo mismo? Entonces es aritmética.
¿Al dividir cada término entre el anterior sale siempre lo mismo? Entonces es geométrica.

No todas las sucesiones son de uno de esos dos tipos. En $1, 3, 6, 10, 15 \dots$ las diferencias son 2, 3, 4, 5: ni la diferencia se mantiene ni el cociente. Es una sucesión perfectamente normal, pero no es una progresión.

4.2Progresiones aritméticas

Progresión aritmética

Es aquella en la que cada término se obtiene sumando al anterior un número fijo, llamado diferencia $d$ . Si $d$ es positiva la sucesión crece, y si es negativa decrece.

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

El $n - 1$ es lo que más se falla. Del término 1 al término 5 hay cuatro saltos, no cinco: el primer término todavía no ha sumado nada. Piensa en los dedos de una mano y los huecos entre ellos.

Suma de los n primeros términos

La suma se calcula emparejando el primero con el último, el segundo con el penúltimo… Todas esas parejas suman lo mismo, y hay $n /2$ parejas.

S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) \cdot n}{2}

Ejemplo resuelto

Suma los 20 primeros términos de la progresión aritmética que empieza en 4 con diferencia 3.

1
Primero hace falta el término 20.
$a_{20} = 4 + (20 - 1) \cdot 3 = 61$
2
Y ahora la suma.
$\frac{( 4 + 61 ) \cdot 20}{2} = 650$

Cuenta la historia que a Gauss, de niño, le mandaron sumar los números del 1 al 100 para tenerlo entretenido. Lo resolvió en un momento emparejando 1 con 100, 2 con 99… cincuenta parejas de 101. Eso es exactamente esta fórmula.

4.3Progresiones geométricas

Progresión geométrica

Es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo, llamado razón $r$ .

a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}

Aparece el mismo $n - 1$ que en las aritméticas, y por el mismo motivo: el primer término aún no se ha multiplicado por nada.

S_{n} = \frac{a _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}

Suma de los n primeros términos.

Ojo con el signo de la razón. Si $r$ es negativa, los términos van alternando de signo: $3, - 6, 12, - 24 \dots$ Y al elevar, un exponente par deja el resultado positivo.

En los problemas de crecimiento hay una trampa de conteo. «Al cabo de 5 horas, multiplicándose por 2 cada hora» es $a \cdot 2^{5}$ , con exponente 5, no 4: al empezar aún no se había multiplicado ninguna vez, así que el momento inicial es el término $a_{1}$ y las 5 horas son 5 multiplicaciones.

4.4Aplicaciones de las progresiones geométricas

Las progresiones geométricas describen todo lo que crece o mengua un porcentaje fijo cada vez: el dinero a interés compuesto, la población, un coche que pierde valor, la carga de una batería.

Es el mismo índice de variación del tema de problemas aritméticos: perder un $20%$ cada año es una progresión geométrica de razón $0, 8$ .

Suma de infinitos términos

Cuando la razón está entre $- 1$ y $1$ , cada término es más pequeño que el anterior y se van haciendo diminutos. Entonces se pueden sumar infinitos términos y salir un número finito.

S = \frac{a _{1}}{1 - r} si ∣ r ∣ < 1

Ejemplo resuelto

Suma todos los términos de la progresión $4, 2, 1, 0, 5, \dots$

1
La razón es 0,5, que está entre −1 y 1, así que se puede.
$\frac{4}{1 - 0 , 5} = \frac{4}{0 , 5} = 8$
2
Sumando infinitos números positivos sale 8. No es magia: los términos se hacen tan pequeños tan deprisa que nunca llegan a pasar de ahí.

Esta fórmula **solo vale si $∣ r ∣ < 1$ **. Con razón 2 los términos crecen sin parar y la suma no tiene ningún valor finito: aplicar la fórmula ahí da un número que no significa nada.

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