Tema 3Listo para practicar

Problemas aritméticos

Contenido del tema

3.1Aproximaciones y errores
3.2Cálculos con porcentajes
3.3Interés compuesto
3.4Problemas clásicos
3.5Proporcionalidad compuesta

Teoría

3.1Aproximaciones y errores

Casi ninguna medida real es exacta: una báscula da 62,4 kg y no 62,4173… La cuestión no es evitar el error, que es inevitable, sino saber cuánto vale.

Redondeo y truncamiento

Redondear es quedarse con unas cifras mirando la siguiente: si es 5 o más, la última sube. Truncar es cortar sin mirar nada. Redondear se acerca más al valor real, y por eso es lo que se usa.

3, 784 \to 3, 78 (truncado) 3, 784 \to 3, 78 (redondeado)

Con 3,786 el truncamiento daría 3,78 y el redondeo 3,79.

Error absoluto y relativo

El error absoluto es la diferencia entre el valor real y el aproximado, en positivo. El error relativo es ese error dividido entre el valor real, y suele darse en porcentaje.

E_{a} = ∣ real - aprox. ∣ E_{r} = \frac{E _{a}}{real}

El error absoluto solo no dice gran cosa: equivocarse en 1 cm midiendo un lápiz es un disparate, y equivocarse en 1 cm midiendo una calle no es nada. Por eso existe el error relativo: compara el fallo con el tamaño de lo medido.

3.2Cálculos con porcentajes

Un porcentaje es una fracción de denominador 100. Calcular el $15%$ de 240 es multiplicar por $\frac{15}{100}$ , o sea por 0,15.

Índice de variación

Para subir o bajar un porcentaje no hace falta calcularlo aparte y sumarlo: se multiplica una sola vez por el índice de variación. Subir un $20%$ es multiplicar por $1, 20$ ; bajar un $20%$ es multiplicar por $0, 80$ .

final = inicial \cdot I_{v} I_{v} = 1 \pm \frac{porcentaje}{100}

La ventaja de verlo así es que varias variaciones seguidas se multiplican, y que para ir hacia atrás basta con dividir.

Ejemplo resuelto

Un abrigo de 80 € sube un 25 % y en rebajas baja un 25 %. ¿Cuánto cuesta al final?

1
Se multiplica por los dos índices, uno detrás del otro.
$80 \cdot 1, 25 \cdot 0, 75 = 75$
2
No vuelve a costar 80 €: el descuento se aplica sobre 100 €, no sobre 80. Subir y bajar el mismo porcentaje nunca deja las cosas como estaban.

Los porcentajes no se suman entre sí. Un $10%$ y luego otro $10%$ no es un $20%$ : es multiplicar por $1, 1 \cdot 1, 1 = 1, 21$ , o sea un $21%$ .

Para saber el precio antes de un descuento hay que dividir por el índice, no aplicar el porcentaje al precio rebajado. Si algo cuesta 80 € tras un $20%$ de descuento, antes costaba $80 : 0, 8 = 100$ €, y no $80 + 16 = 96$ €.

3.3Interés compuesto

Cuando se deja dinero en un banco (o se pide prestado), se generan intereses. La diferencia entre los dos tipos está en sobre qué se calculan.

Interés simple: cada año se calcula siempre sobre el capital inicial. Los intereses no generan intereses.
Interés compuesto: cada año los intereses se suman al capital, así que al año siguiente generan intereses ellos también.

C_{f} = C_{i} (1 + \frac{r}{100})^{t}

Capital final tras t años al r % de interés compuesto.

Fíjate en que es el índice de variación del apartado anterior, elevado a los años: aplicar la misma subida una y otra vez.

Ejemplo resuelto

¿En cuánto se convierten 2000 € al 5 % de interés compuesto en 3 años?

1
El índice es 1,05, y se aplica tres veces.
$2000 \cdot 1, 0 5^{3} \approx 2315, 25$
2
Con interés simple habrían sido $2000 + 300 = 2300$ €. La diferencia parece poca en tres años, pero en veinte es enorme: ahí está la gracia del interés compuesto.

Si el interés no es anual sino mensual o trimestral, hay que ajustar las dos cosas: el tipo se divide entre el número de períodos del año y el exponente se multiplica por ese mismo número.

3.4Problemas clásicos

Hay tres tipos de problema que se repiten desde hace siglos. Merece la pena reconocerlos, porque cada uno tiene su truco.

Mezclas

Se calcula lo que cuesta todo y se divide entre la cantidad total. El precio de la mezcla no es la media de los dos precios, salvo que haya la misma cantidad de cada cosa.

Móviles

Si van uno hacia el otro, cada hora se acercan la suma de sus velocidades. Si uno persigue al otro, la distancia se recorta la resta de las velocidades.

Trabajo conjunto

No se suman los tiempos: se suma lo que hace cada uno en una hora. Si uno tarda 4 horas, en una hora hace $\frac{1}{4}$ del trabajo.

Ejemplo resuelto

Un grifo llena un depósito en 3 horas y otro en 6. ¿Cuánto tardan juntos?

1
En una hora, el primero llena un tercio y el segundo un sexto.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$
2
Si en una hora llenan medio depósito, el depósito entero les lleva dos horas.
$2$

En el problema de los grifos, el resultado siempre es menor que el tiempo del más rápido. Si te sale más, has sumado los tiempos en lugar de los trabajos.

3.5Proporcionalidad compuesta

A veces el resultado depende de más de una magnitud a la vez: los días que dura una obra dependen de cuántos obreros hay y de cuántas horas trabajan.

Lo importante es decidir, para cada magnitud por separado, si es directa o inversa:

Directa: si una sube, la otra sube. Más metros de tela, más dinero.
Inversa: si una sube, la otra baja. Más obreros, menos días.

Un truco que evita equivocarse: en los problemas de obreros, calcula el trabajo total (obreros × días × horas). Ese número no cambia, y a partir de él sale todo lo demás.

Ejemplo resuelto

6 obreros trabajando 8 horas al día terminan una obra en 10 días. ¿Cuántos días tardarán 4 obreros a 6 horas al día?

1
La obra son siempre las mismas horas de trabajo en total.
$6 \cdot 10 \cdot 8 = 480$
2
Repartimos esas horas entre los obreros nuevos y su jornada.
$\frac{480}{4 \cdot 6} = 20$
3
Tardan 20 días. Tiene sentido: menos obreros y menos horas, más días.

Antes de dar por buena la respuesta, comprueba que va en la dirección lógica. Si pones más obreros y te salen más días, hay algo al revés.

Practicar

Preparando ejercicio…

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