Tema 2Listo para practicar

Potencias y raíces

Contenido del tema

2.1Potenciación
2.2Notación científica
2.3Raíces exactas
2.4Radicales

Teoría

2.1Potenciación

Potencia

Una potencia es una multiplicación de factores iguales. En $a^{n}$ , la base $a$ es lo que se multiplica y el exponente $n$ dice cuántas veces.

Estas cinco propiedades son las que se usan todo el rato. Fíjate en que el exponente hace con la suma lo que la operación hace con las potencias: multiplicar potencias suma exponentes, dividirlas los resta.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

Misma base: los exponentes se suman o se restan.

(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

Potencia de una potencia: aquí se multiplican.

a^{0} = 1 a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Con $a \neq 0$.

Un exponente negativo no hace que el resultado sea negativo: $2^{- 3}$ es $\frac{1}{8}$ , no $- 8$ . Lo que hace es dar la vuelta a la fracción.

Cuidado con el signo de la base: $(- 2)^{4} = 16$ pero $- 2^{4} = - 16$ . Con el paréntesis, el signo se eleva; sin él, no. Con exponente par el resultado es positivo, y con impar conserva el signo de la base.

Ejemplo resuelto

Expresa como una sola potencia:

\frac{3 ^{5} \cdot 3 ^{4}}{3 ^{2}}

1
Arriba, misma base: sumamos los exponentes.
$\frac{3 ^{9}}{3 ^{2}}$
2
Al dividir, restamos.
$3^{9 - 2} = 3^{7}$

2.2Notación científica

La distancia al Sol son 150 000 000 km y un virus mide 0,00000012 m. Escribir tantos ceros es incómodo y fácil de equivocar, así que se usa otra forma.

Notación científica

Un número está en notación científica cuando se escribe como $a \cdot 1 0^{n}$ , donde $a$ tiene una sola cifra distinta de cero antes de la coma (o sea, entre 1 y 10) y $n$ es un número entero.

150000000 = 1, 5 \cdot 1 0^{8} 0, 00000012 = 1, 2 \cdot 1 0^{- 7}

El exponente es positivo si el número es grande (mayor que 10).
Es negativo si el número es pequeño (menor que 1).
El exponente cuenta cuántos lugares se mueve la coma.

$32 \cdot 1 0^{4}$ vale lo mismo que $3, 2 \cdot 1 0^{5}$ , pero no está en notación científica: delante de la coma solo puede haber una cifra.

Para multiplicar y dividir se opera cada parte por separado: los decimales entre sí, y las potencias de 10 sumando o restando exponentes.

Ejemplo resuelto

Calcula:

(3 \cdot 1 0^{5}) \cdot (2, 5 \cdot 1 0^{- 2})

1
Agrupamos los decimales por un lado y las potencias por otro.
$(3 \cdot 2, 5) \cdot 1 0^{5 - 2}$
2
Operamos.
$7, 5 \cdot 1 0^{3}$

Para sumar o restar no vale hacer eso: hay que igualar antes los exponentes. $3 \cdot 1 0^{5} + 4 \cdot 1 0^{4}$ no es $7 \cdot 1 0^{9}$ ni $7 \cdot 1 0^{5}$ ; hay que pasar el segundo a $0, 4 \cdot 1 0^{5}$ y entonces sumar.

2.3Raíces exactas

Raíz n-ésima

La raíz $n a$ es el número que elevado a $n$ da $a$ . El número $n$ es el índice y $a$ el radicando. La raíz es la operación contraria de la potencia.

n a = b ⟺ b^{n} = a

Que la raíz exista o no depende de dos cosas: si el índice es par o impar, y el signo del radicando.

Índice impar: siempre existe, y conserva el signo. $3 - 8 = - 2$ .
Índice par con radicando positivo: existe, y tiene dos valores opuestos. $9 = \pm 3$ .
Índice par con radicando negativo: no existe entre los números reales.

Por qué $- 9$ no existe: haría falta un número que, multiplicado por sí mismo, diera negativo. Y un número por sí mismo siempre da positivo, sea el que sea.

Una raíz se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario, y eso permite usar con ella todas las propiedades del apartado 1:

n a^{m} = a^{m / n}

Ejemplo resuelto

Calcula:

2^{6}

1
La raíz cuadrada equivale a dividir el exponente entre 2.
$2^{6/2} = 2^{3}$
2
Y eso son 8.
$2^{3} = 8$

2.4Radicales

Cuando la raíz no es exacta se deja indicada: $2$ es un número tan legítimo como cualquier otro, y escribirlo así es más exacto que poner 1,41.

a \cdot b = a \cdot b \frac{a}{b} = \frac{a}{b}

El producto y el cociente sí se reparten dentro de la raíz.

La suma no se reparte: $9 + 16$ es $25 = 5$ , y no $3 + 4 = 7$ . Este es el error más repetido de todo el tema.

Sacar factores de la raíz

Se descompone el radicando buscando cuadrados perfectos: los que salen fuera se convierten en su raíz, y el resto se queda dentro.

Ejemplo resuelto

Saca todos los factores posibles fuera de la raíz:

72

1
Buscamos el mayor cuadrado perfecto que divida a 72: es 36.
$36 \cdot 2$
2
El producto se reparte, y la raíz de 36 sí es exacta.
$36 \cdot 2 = 62$

Radicales semejantes

Dos radicales son semejantes si tienen la misma raíz. Solo esos se pueden sumar y restar, y funcionan igual que los monomios: se opera con los números de delante y la raíz no se toca.

53 + 23 - 43 = (5 + 2 - 4) 3 = 33

A veces dos radicales parecen distintos y son semejantes: $8$ y $2$ no se pueden sumar tal cual, pero $8 = 22$ , y entonces sí. Antes de decidir que no se pueden sumar, saca factores.

Practicar

Preparando ejercicio…

Hacer la prueba del tema

Cuando lo tengas trabajado, ponte a prueba con diez ejercicios de todo el tema.

Hacer la prueba del tema