Números naturales, enteros y racionales

1.1Números naturales

Los naturales son los de contar: $1,2,3,4\dots$ Todo lo que viene después en el tema nace de una limitación suya: con ellos no se puede restar 5 − 8, ni repartir 3 entre 4.

Para saber cuál de los dos hace falta en un problema, la pregunta que casi siempre funciona es: ¿estoy repartiendo o cortando algo en trozos iguales, o estoy esperando a que dos cosas vuelvan a coincidir?

• Repartir o cortar en trozos iguales lo más grandes posibles → mcd.
• Coincidir otra vez, encontrarse, sonar a la vez → mcm.

Una comprobación rápida que casi nadie usa: $\text{mcd}(a,b)\cdot \text{mcm}(a,b)=a\cdot b$. Si haces los dos y no cuadra, hay un error en alguno.

1.2Otros sistemas de numeración

El sistema que usamos es decimal y posicional: hay diez cifras, y lo que vale cada una depende del lugar que ocupa. El 5 de 352 vale 50, no 5.

Que no fuera posicional y no tuviera cero hacía que multiplicar en romano fuera casi imposible. Por eso Europa cambió al sistema que usamos: no es una cuestión de gustos, es que con este se puede calcular.

1.3Números enteros

Los enteros añaden los negativos, y con ellos ya se puede restar siempre. Sirven para todo lo que tiene dos sentidos: temperaturas, plantas de un edificio, dinero que se debe.

Esa regla es solo para multiplicar y dividir. En las sumas y restas no vale: $-3-5$ no es $+8$, es $-8$. Confundir las dos cosas es el error más frecuente con enteros, y viene de aplicar «menos y menos dan más» donde no toca.

Donde sí funciona es al quitar un paréntesis: $7-(-2)$ es $7+2=9$. Restar una deuda es quedarse con más.

Y ojo con las potencias: $(-2{)}^4=16$, pero $-2^4=-16$. Si el paréntesis no encierra el signo, el signo se queda fuera y no se eleva.

1.4Fracciones

Para comparar dos fracciones se reducen a común denominador y se miran los numeradores. También sirve pasarlas a decimal, aunque entonces se pierde exactitud.

Un denominador más grande no significa una fracción más grande, sino todo lo contrario: $\frac{1}{8}$ es menor que $\frac{1}{3}$, porque repartir entre más gente toca a menos.

1.5Operaciones con fracciones

Hay una asimetría que conviene tener clara desde el principio: sumar y restar exige común denominador, y multiplicar y dividir no.

Dividir es multiplicar por la fracción dada la vuelta. Para sumar o restar hay que reducir antes a común denominador, que es el mcm de los denominadores.

Al sumar, los denominadores no se suman: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ no es $\frac{2}{5}$. Se ve enseguida con números: medio más un tercio es más de medio, y $\frac{2}{5}$ es menos.

La jerarquía es la de siempre: primero los paréntesis, después las multiplicaciones y divisiones, y al final las sumas y restas. Que haya fracciones no cambia el orden.

1.6Números decimales

Al dividir el numerador entre el denominador salen tres cosas distintas, y cuál de las tres se sabe de antemano, sin hacer la división: basta con mirar los factores del denominador de la fracción irreducible.

• Si el denominador solo tiene doses y cincos: decimal exacto. $\frac{3}{8}=0,375$.
• Si no tiene ni doses ni cincos: periódico puro. $\frac{2}{3}=0,\overline{6}$.
• Si tiene de los dos tipos mezclados: periódico mixto. $\frac{7}{6}=1,1\overline{6}$.

El motivo es que nuestro sistema es decimal y $10=2\cdot 5$: solo se puede llegar a un final exacto si el denominador se puede completar hasta una potencia de 10.

Un decimal periódico no se puede escribir entero: $0,333\dots$ no acaba nunca. Por eso, cuando la exactitud importa, se deja como fracción: $\frac{1}{3}$ es exacto y $0,33$ no lo es.

1.7Fracciones y decimales con la calculadora

La calculadora es rapidísima y no se equivoca, pero redondea, y ahí es donde hay que tener cuidado.

• Trabaja con fracciones todo lo que puedas y redondea solo al final. Si redondeas por el camino, los errores se acumulan.
• Al escribir la respuesta, usa tantos decimales como te pidan, ni más ni menos.
• Cuidado con los paréntesis: $\frac{2+3}{4}$ hay que escribirlo $(2+3):4$, porque si no la calculadora divide solo el 3.

Antes de dar por buena una respuesta, mírala y pregúntate si tiene sentido. Si calculas un descuento y sale más caro que antes, no hace falta revisar la cuenta: ya sabes que está mal. La calculadora no piensa; tú sí.