Nombres naturals, enters i racionals

1.1Nombres naturals

Els naturals són els de comptar: $1,2,3,4\dots$ Tot el que ve després en el tema naix d’una limitació seua: amb ells no es pot restar 5 − 8, ni repartir 3 entre 4.

Per a saber quin dels dos fa falta en un problema, la pregunta que quasi sempre funciona és: estic repartint o tallant una cosa en trossos iguals, o estic esperant que dues coses tornen a coincidir?

• Repartir o tallar en trossos iguals el més grans possibles → mcd.
• Coincidir una altra vegada, trobar-se, sonar alhora → mcm.

Una comprovació ràpida que quasi ningú usa: $\text{mcd}(a,b)\cdot \text{mcm}(a,b)=a\cdot b$. Si fas els dos i no quadra, hi ha un error en algun.

1.2Altres sistemes de numeració

El sistema que usem és decimal i posicional: hi ha deu xifres, i el que val cadascuna depén del lloc que ocupa. El 5 de 352 val 50, no 5.

Que no fora posicional i no tinguera zero feia que multiplicar en romà fora quasi impossible. Per això Europa va canviar al sistema que usem: no és una qüestió de gustos, és que amb este es pot calcular.

1.3Nombres enters

Els enters afigen els negatius, i amb ells ja es pot restar sempre. Servixen per a tot el que té dos sentits: temperatures, plantes d’un edifici, diners que es deuen.

Eixa regla és només per a multiplicar i dividir. En les sumes i restes no val: $-3-5$ no és $+8$, és $-8$. Confondre les dues coses és l’error més freqüent amb enters, i ve d’aplicar «menys i menys donen més» on no toca.

On sí que funciona és al llevar un parèntesi: $7-(-2)$ és $7+2=9$. Restar un deute és quedar-se amb més.

I ull amb les potències: $(-2{)}^4=16$, però $-2^4=-16$. Si el parèntesi no tanca el signe, el signe es queda fora i no s’eleva.

1.4Fraccions

Per a comparar dues fraccions es reduïxen a comú denominador i es miren els numeradors. També servix passar-les a decimal, encara que aleshores es perd exactitud.

Un denominador més gran no significa una fracció més gran, sinó tot el contrari: $\frac{1}{8}$ és menor que $\frac{1}{3}$, perquè repartir entre més gent toca a menys.

1.5Operacions amb fraccions

Hi ha una asimetria que convé tindre clara des del principi: sumar i restar exigix comú denominador, i multiplicar i dividir no.

Dividir és multiplicar per la fracció girada. Per a sumar o restar cal reduir abans a comú denominador, que és el mcm dels denominadors.

Al sumar, els denominadors no se sumen: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ no és $\frac{2}{5}$. Es veu de seguida amb nombres: mig més un terç és més de mig, i $\frac{2}{5}$ és menys.

La jerarquia és la de sempre: primer els parèntesis, després les multiplicacions i divisions, i al final les sumes i restes. Que hi haja fraccions no canvia l’ordre.

1.6Nombres decimals

Al dividir el numerador pel denominador ixen tres coses distintes, i quina de les tres se sap per endavant, sense fer la divisió: n’hi ha prou amb mirar els factors del denominador de la fracció irreductible.

• Si el denominador només té dosos i cincs: decimal exacte. $\frac{3}{8}=0,375$.
• Si no té ni dosos ni cincs: periòdic pur. $\frac{2}{3}=0,\overline{6}$.
• Si té dels dos tipus barrejats: periòdic mixt. $\frac{7}{6}=1,1\overline{6}$.

El motiu és que el nostre sistema és decimal i $10=2\cdot 5$: només es pot arribar a un final exacte si el denominador es pot completar fins a una potència de 10.

Un decimal periòdic no es pot escriure sencer: $0,333\dots$ no acaba mai. Per això, quan l’exactitud importa, es deixa com a fracció: $\frac{1}{3}$ és exacte i $0,33$ no ho és.

1.7Fraccions i decimals amb la calculadora

La calculadora és rapidíssima i no s’equivoca, però arredonix, i ahí és on cal tindre cura.

• Treballa amb fraccions tot el que pugues i arredonix només al final. Si arredonixes pel camí, els errors s’acumulen.
• Al escriure la resposta, usa tants decimals com et demanen, ni més ni menys.
• Compte amb els parèntesis: $\frac{2+3}{4}$ cal escriure’l $(2+3):4$, perquè si no la calculadora dividix només el 3.

Abans de donar per bona una resposta, mira-la i pregunta’t si té sentit. Si calcules un descompte i ix més car que abans, no fa falta revisar el compte: ja saps que està malament. La calculadora no pensa; tu sí.