Tema 2Llest per a practicar

Potències i arrels

Contingut del tema

2.1Potenciació
2.2Notació científica
2.3Arrels exactes
2.4Radicals

Teoria

2.1Potenciació

Potència

Una potència és una multiplicació de factors iguals. En $a^{n}$ , la base $a$ és el que es multiplica i l’exponent $n$ diu quantes vegades.

Estes cinc propietats són les que s’usen tota l’estona. Fixa’t que l’exponent fa amb la suma el que l’operació fa amb les potències: multiplicar potències suma exponents, dividir-les els resta.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

Mateixa base: els exponents se sumen o es resten.

(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

Potència d’una potència: ací es multipliquen.

a^{0} = 1 a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Amb $a \neq 0$.

Un exponent negatiu no fa que el resultat siga negatiu: $2^{- 3}$ és $\frac{1}{8}$ , no $- 8$ . El que fa és girar la fracció.

Compte amb el signe de la base: $(- 2)^{4} = 16$ però $- 2^{4} = - 16$ . Amb el parèntesi, el signe s’eleva; sense ell, no. Amb exponent parell el resultat és positiu, i amb imparell conserva el signe de la base.

Exemple resolt

Expressa com una sola potència:

\frac{3 ^{5} \cdot 3 ^{4}}{3 ^{2}}

1
Dalt, mateixa base: sumem els exponents.
$\frac{3 ^{9}}{3 ^{2}}$
2
Al dividir, restem.
$3^{9 - 2} = 3^{7}$

2.2Notació científica

La distància al Sol són 150 000 000 km i un virus fa 0,00000012 m. Escriure tants zeros és incòmode i fàcil d’equivocar, per tant s’usa una altra forma.

Notació científica

Un nombre està en notació científica quan s’escriu com $a \cdot 1 0^{n}$ , on $a$ té una sola xifra distinta de zero abans de la coma (és a dir, entre 1 i 10) i $n$ és un nombre enter.

150000000 = 1, 5 \cdot 1 0^{8} 0, 00000012 = 1, 2 \cdot 1 0^{- 7}

L’exponent és positiu si el nombre és gran (major que 10).
És negatiu si el nombre és menut (menor que 1).
L’exponent compta quants llocs es mou la coma.

$32 \cdot 1 0^{4}$ val el mateix que $3, 2 \cdot 1 0^{5}$ , però no està en notació científica: davant de la coma només pot haver-hi una xifra.

Per a multiplicar i dividir s’opera cada part per separat: els decimals entre si, i les potències de 10 sumant o restant exponents.

Exemple resolt

Calcula:

(3 \cdot 1 0^{5}) \cdot (2, 5 \cdot 1 0^{- 2})

1
Agrupem els decimals per un costat i les potències per un altre.
$(3 \cdot 2, 5) \cdot 1 0^{5 - 2}$
2
Operem.
$7, 5 \cdot 1 0^{3}$

Per a sumar o restar no val fer això: cal igualar abans els exponents. $3 \cdot 1 0^{5} + 4 \cdot 1 0^{4}$ no és $7 \cdot 1 0^{9}$ ni $7 \cdot 1 0^{5}$ ; cal passar el segon a $0, 4 \cdot 1 0^{5}$ i aleshores sumar.

2.3Arrels exactes

Arrel n-èsima

L’arrel $n a$ és el nombre que elevat a $n$ dona $a$ . El nombre $n$ és l’índex i $a$ el radicand. L’arrel és l’operació contrària de la potència.

n a = b ⟺ b^{n} = a

Que l’arrel existisca o no depén de dues coses: si l’índex és parell o imparell, i el signe del radicand.

Índex imparell: sempre existix, i conserva el signe. $3 - 8 = - 2$ .
Índex parell amb radicand positiu: existix, i té dos valors oposats. $9 = \pm 3$ .
Índex parell amb radicand negatiu: no existix entre els nombres reals.

Per què $- 9$ no existix: faria falta un nombre que, multiplicat per si mateix, donara negatiu. I un nombre per si mateix sempre dona positiu, siga el que siga.

Una arrel es pot escriure com una potència d’exponent fraccionari, i això permet usar amb ella totes les propietats de l’apartat 1:

n a^{m} = a^{m / n}

Exemple resolt

Calcula:

2^{6}

1
L’arrel quadrada equival a dividir l’exponent entre 2.
$2^{6/2} = 2^{3}$
2
I això són 8.
$2^{3} = 8$

2.4Radicals

Quan l’arrel no és exacta es deixa indicada: $2$ és un nombre tan legítim com qualsevol altre, i escriure’l així és més exacte que posar 1,41.

a \cdot b = a \cdot b \frac{a}{b} = \frac{a}{b}

El producte i el quocient sí que es reparteixen dins de l’arrel.

La suma no es repartix: $9 + 16$ és $25 = 5$ , i no $3 + 4 = 7$ . Este és l’error més repetit de tot el tema.

Traure factors de l’arrel

Es descompon el radicand buscant quadrats perfectes: els que ixen fora es convertixen en la seua arrel, i la resta es queda dins.

Exemple resolt

Trau tots els factors possibles fora de l’arrel:

72

1
Busquem el major quadrat perfecte que dividisca 72: és 36.
$36 \cdot 2$
2
El producte es repartix, i l’arrel de 36 sí que és exacta.
$36 \cdot 2 = 62$

Radicals semblants

Dos radicals són semblants si tenen la mateixa arrel. Només eixos es poden sumar i restar, i funcionen igual que els monomis: s’opera amb els nombres de davant i l’arrel no es toca.

53 + 23 - 43 = (5 + 2 - 4) 3 = 33

A vegades dos radicals semblen distints i són semblants: $8$ i $2$ no es poden sumar tal qual, però $8 = 22$ , i aleshores sí. Abans de decidir que no es poden sumar, trau factors.

Practicar

Preparant l’exercici…

Fer la prova del tema

Quan el tingues treballat, posa’t a prova amb deu exercicis de tot el tema.

Fer la prova del tema