Tema 3Llest per a practicar

Problemes aritmètics

Contingut del tema

3.1Aproximacions i errors
3.2Càlculs amb percentatges
3.3Interés compost
3.4Problemes clàssics
3.5Proporcionalitat composta

Teoria

3.1Aproximacions i errors

Quasi cap mesura real és exacta: una bàscula dona 62,4 kg i no 62,4173… La qüestió no és evitar l’error, que és inevitable, sinó saber quant val.

Arredoniment i truncament

Arredonir és quedar-se amb unes xifres mirant la següent: si és 5 o més, l’última puja. Truncar és tallar sense mirar res. Arredonir s’acosta més al valor real, i per això és el que s’usa.

3, 784 \to 3, 78 (truncado) 3, 784 \to 3, 78 (redondeado)

Amb 3,786 el truncament donaria 3,78 i l’arredoniment 3,79.

Error absolut i relatiu

L’error absolut és la diferència entre el valor real i l’aproximat, en positiu. L’error relatiu és eixe error dividit pel valor real, i sol donar-se en percentatge.

E_{a} = ∣ real - aprox. ∣ E_{r} = \frac{E _{a}}{real}

L’error absolut a soles no diu gran cosa: equivocar-se en 1 cm mesurant un llapis és un disbarat, i equivocar-se en 1 cm mesurant un carrer no és res. Per això existix l’error relatiu: compara la fallada amb la grandària del que s’ha mesurat.

3.2Càlculs amb percentatges

Un percentatge és una fracció de denominador 100. Calcular el $15%$ de 240 és multiplicar per $\frac{15}{100}$ , és a dir per 0,15.

Índex de variació

Per a pujar o baixar un percentatge no fa falta calcular-lo a banda i sumar-lo: es multiplica una sola vegada per l’índex de variació. Pujar un $20%$ és multiplicar per $1, 20$ ; baixar un $20%$ és multiplicar per $0, 80$ .

final = inicial \cdot I_{v} I_{v} = 1 \pm \frac{porcentaje}{100}

L’avantatge de vore-ho així és que diverses variacions seguides es multipliquen, i que per a anar cap arrere n’hi ha prou amb dividir.

Exemple resolt

Un abric de 80 € puja un 25 % i en rebaixes baixa un 25 %. Quant costa al final?

1
Es multiplica pels dos índexs, un darrere de l’altre.
$80 \cdot 1, 25 \cdot 0, 75 = 75$
2
No torna a costar 80 €: el descompte s’aplica sobre 100 €, no sobre 80. Pujar i baixar el mateix percentatge mai deixa les coses com estaven.

Els percentatges no se sumen entre si. Un $10%$ i després un altre $10%$ no és un $20%$ : és multiplicar per $1, 1 \cdot 1, 1 = 1, 21$ , és a dir un $21%$ .

Per a saber el preu abans d’un descompte cal dividir per l’índex, no aplicar el percentatge al preu rebaixat. Si una cosa costa 80 € després d’un $20%$ de descompte, abans costava $80 : 0, 8 = 100$ €, i no $80 + 16 = 96$ €.

3.3Interés compost

Quan es deixa diners en un banc (o se’n demana prestat), es generen interessos. La diferència entre els dos tipus està en sobre què es calculen.

Interés simple: cada any es calcula sempre sobre el capital inicial. Els interessos no generen interessos.
Interés compost: cada any els interessos se sumen al capital, per tant l’any següent generen interessos ells també.

C_{f} = C_{i} (1 + \frac{r}{100})^{t}

Capital final després de t anys al r % d’interés compost.

Fixa’t que és l’índex de variació de l’apartat anterior, elevat als anys: aplicar la mateixa pujada una vegada i una altra.

Exemple resolt

En quant es convertixen 2000 € al 5 % d’interés compost en 3 anys?

1
L’índex és 1,05, i s’aplica tres vegades.
$2000 \cdot 1, 0 5^{3} \approx 2315, 25$
2
Amb interés simple haurien sigut $2000 + 300 = 2300$ €. La diferència sembla poca en tres anys, però en vint és enorme: ahí està la gràcia de l’interés compost.

Si l’interés no és anual sinó mensual o trimestral, cal ajustar les dues coses: el tipus es dividix pel nombre de períodes de l’any i l’exponent es multiplica per eixe mateix nombre.

3.4Problemes clàssics

Hi ha tres tipus de problema que es repetixen des de fa segles. Val la pena reconéixer-los, perquè cadascun té el seu truc.

Mescles

Es calcula el que costa tot i es dividix entre la quantitat total. El preu de la mescla no és la mitjana dels dos preus, llevat que hi haja la mateixa quantitat de cada cosa.

Mòbils

Si van un cap a l’altre, cada hora s’acosten la suma de les seues velocitats. Si un perseguix l’altre, la distància es retalla la resta de les velocitats.

Treball conjunt

No se sumen els temps: se suma el que fa cadascun en una hora. Si un tarda 4 hores, en una hora fa $\frac{1}{4}$ del treball.

Exemple resolt

Una aixeta ompli un depòsit en 3 hores i una altra en 6. Quant tarden juntes?

1
En una hora, la primera ompli un terç i la segona un sisé.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$
2
Si en una hora omplin mig depòsit, el depòsit sencer els porta dues hores.
$2$

En el problema de les aixetes, el resultat sempre és menor que el temps del més ràpid. Si t’ix més, has sumat els temps en lloc dels treballs.

3.5Proporcionalitat composta

A vegades el resultat depén de més d’una magnitud alhora: els dies que dura una obra depenen de quants obrers hi ha i de quantes hores treballen.

L’important és decidir, per a cada magnitud per separat, si és directa o inversa:

Directa: si una puja, l’altra puja. Més metres de tela, més diners.
Inversa: si una puja, l’altra baixa. Més obrers, menys dies.

Un truc que evita equivocar-se: en els problemes d’obrers, calcula el treball total (obrers × dies × hores). Eixe nombre no canvia, i a partir d’ell ix tota la resta.

Exemple resolt

6 obrers treballant 8 hores al dia acaben una obra en 10 dies. Quants dies tardaran 4 obrers a 6 hores al dia?

1
L’obra són sempre les mateixes hores de treball en total.
$6 \cdot 10 \cdot 8 = 480$
2
Repartim eixes hores entre els obrers nous i la seua jornada.
$\frac{480}{4 \cdot 6} = 20$
3
Tarden 20 dies. Té sentit: menys obrers i menys hores, més dies.

Abans de donar per bona la resposta, comprova que va en la direcció lògica. Si poses més obrers i t’ixen més dies, hi ha alguna cosa al revés.

Practicar

Preparant l’exercici…

Fer la prova del tema

Quan el tingues treballat, posa’t a prova amb deu exercicis de tot el tema.

Fer la prova del tema