Tema 10Listo para practicar

Problemas métricos en el plano

Contenido del tema

10.1Relaciones angulares
10.2Triángulos semejantes. Teorema de Tales
10.3Figuras semejantes. Escalas
10.4Teorema de Pitágoras
10.5Aplicación algebraica del teorema de Pitágoras
10.6Áreas de los polígonos
10.7Áreas de las figuras curvas

Teoría

10.1Relaciones angulares

Muchos problemas de geometría se resuelven sin medir nada: basta con saber qué ángulos son iguales y cuáles suman una cantidad conocida. Merece la pena aprenderse unas pocas relaciones, porque aparecen una y otra vez.

Dos ángulos son complementarios si suman $9 0^{\circ}$ .
Dos ángulos son suplementarios si suman $18 0^{\circ}$ . Es lo que pasa cuando están uno al lado del otro sobre una recta.
Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Dos paralelas y una secante

Cuando una recta corta a dos paralelas se forman ocho ángulos, pero solo hay dos valores distintos. Los que ocupan la misma posición en cada cruce (correspondientes) son iguales; los que están cruzados por dentro (alternos internos) también. Cualquier otro par suma $18 0^{\circ}$ .

Los dos de 60° son correspondientes: ocupan el mismo sitio en cada cruce. El de 120° es el suplementario.

Ángulos de un polígono

Desde un vértice, un polígono de $n$ lados se parte en $n - 2$ triángulos. Como cada triángulo aporta $18 0^{\circ}$ , la suma de todos los ángulos interiores es $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$ . Si además es regular, todos miden lo mismo y basta con dividir.

S = (n - 2) \cdot 18 0^{\circ} regular : a^= \frac{( n - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{n}

Ejemplo resuelto

¿Cuánto mide cada ángulo interior de un octógono regular?

1
Primero la suma de los ocho ángulos.
$S = (8 - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 108 0^{\circ}$
2
Como es regular, se reparte entre los ocho.
$\frac{108 0 ^{\circ}}{8} = 13 5^{\circ}$

Ángulos en la circunferencia

Un ángulo central tiene el vértice en el centro. Un ángulo inscrito lo tiene sobre la circunferencia. Si los dos se apoyan en el mismo arco, el inscrito mide la mitad del central.

El central mide 100° y el inscrito, sobre el mismo arco AB, mide 50°: justo la mitad.

Si el arco es media circunferencia, el central mide $18 0^{\circ}$ y el inscrito, $9 0^{\circ}$ . Por eso todo triángulo apoyado en un diámetro es rectángulo.

10.2Triángulos semejantes. Teorema de Tales

Figuras semejantes

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma aunque no el mismo tamaño: los ángulos son iguales y los lados correspondientes están todos en la misma proporción. Ese número se llama razón de semejanza y se escribe $k$ .

Para los triángulos hay un atajo muy cómodo: si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, ya son semejantes. No hace falta comprobar los lados, porque el tercer ángulo sale solo.

Teorema de Tales

Si en un triángulo se traza una recta paralela a uno de los lados, el triángulo pequeño que se forma es semejante al grande. Los otros dos lados quedan divididos en partes proporcionales.

DE es paralelo a BC. Se cumple 6/3 = 8/4, y también 6/9 = 8/12: los dos valen 2/3.

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}

Cuidado con qué se compara con qué. $\frac{A D}{D B}$ compara trozo con trozo; $\frac{A D}{A B}$ compara trozo con lado entero. Las dos proporciones valen, pero mezclarlas no.

Ejemplo resuelto

A la misma hora, un palo de 1,5 m proyecta 2 m de sombra y un árbol proyecta 12 m. ¿Cuánto mide el árbol?

1
Los rayos del sol llegan con la misma inclinación, así que los dos triángulos son semejantes.
$\frac{1 , 5}{2} = \frac{h}{12}$
2
Se multiplica en cruz y se despeja.
$h = \frac{1 , 5 \cdot 12}{2} = 9$

10.3Figuras semejantes. Escalas

Escala

Una escala es una razón de semejanza escrita como $1 : N$ . Quiere decir que cada unidad del dibujo son $N$ unidades de la realidad. En un mapa 1:50 000, un centímetro son 50 000 cm, es decir, medio kilómetro.

Del dibujo a la realidad: se multiplica por $N$ .
De la realidad al dibujo: se divide entre $N$ .
Y siempre en las mismas unidades: 1 m = 100 cm, 1 km = 100 000 cm.

Qué le pasa al área y al volumen

Este es el punto donde más gente se equivoca. Si las longitudes se multiplican por $k$ , las áreas se multiplican por $k^{2}$ y los volúmenes por $k^{3}$ . Una maqueta a mitad de tamaño no pesa la mitad: pesa la octava parte.

longitudes \times k a ˊ reas \times k^{2} vol u ˊ menes \times k^{3}

Ejemplo resuelto

Dos figuras semejantes tienen razón $k = 3$ . La pequeña tiene 20 cm² de área. ¿Y la grande?

1
Las áreas no van con $k$ , van con $k^{2}$ : crecen el largo y el ancho a la vez.
$k^{2} = 3^{2} = 9$
2
Nueve veces, no tres.
$20 \cdot 9 = 180$

10.4Teorema de Pitágoras

El teorema

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. La hipotenusa es el lado que se opone al ángulo recto, y siempre es el mayor de los tres.

h^{2} = a^{2} + b^{2}

El triángulo de toda la vida: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

El teorema se usa en dos direcciones. Si conoces los dos catetos, sumas los cuadrados. Si conoces la hipotenusa y un cateto, restas. En los dos casos, lo último es sacar la raíz cuadrada, porque lo que se calcula primero es el cuadrado del lado, no el lado.

El error más repetido: dar por buena la respuesta $h^{2} = 169$ y escribir $h = 169$ . Falta la raíz: $h = 13$ .

El teorema al revés

También sirve para comprobar si un triángulo es rectángulo: se coge el lado mayor, se compara su cuadrado con la suma de los cuadrados de los otros dos, y si coinciden, lo es. Es como se replantea una obra en ángulo recto sin escuadra.

Ejemplo resuelto

¿Es rectángulo un triángulo de lados 8, 15 y 17?

1
El lado mayor sería la hipotenusa.
$1 7^{2} = 289$
2
Y los otros dos:
$8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289$
3
Coinciden: sí es rectángulo.

10.5Aplicación algebraica del teorema de Pitágoras

Casi ningún problema viene ya con un triángulo rectángulo dibujado. Lo que hay que hacer es encontrarlo dentro de la figura: una diagonal, una altura, un radio y media cuerda. En cuanto lo ves, el resto es aplicar la fórmula.

Diagonal de un rectángulo: los dos lados son los catetos.
Altura de un triángulo isósceles: la altura cae en el punto medio de la base, así que un cateto es media base y la hipotenusa es el lado igual.
Apotema de un polígono regular: el radio es la hipotenusa y medio lado es el otro cateto.
Distancia entre dos puntos: los catetos son las diferencias de coordenadas.

La altura parte la base en dos trozos de 6. Entonces 10² = 6² + a², de donde a = 8.

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

La distancia entre dos puntos del plano: Pitágoras con las diferencias de coordenadas.

Ejemplo resuelto

¿Qué distancia hay entre $A (- 2, 1)$ y $B (4, 9)$ ?

1
Las diferencias de coordenadas son los catetos.
$4 - (- 2) = 6, 9 - 1 = 8$
2
Y ahora Pitágoras.
$d = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$

10.6Áreas de los polígonos

Todas las fórmulas de esta lista salen de la misma idea: convertir la figura en un rectángulo, o en la mitad de uno. Si te acuerdas de por qué, no hace falta memorizarlas.

rect a ˊ ngulo = b \cdot h tri a ˊ ngulo = \frac{b \cdot h}{2} paralelogramo = b \cdot h

trapecio = \frac{( B + b ) \cdot h}{2} rombo = \frac{D \cdot d}{2} regular = \frac{P \cdot a}{2}

Dos trapecios iguales, uno girado, forman un paralelogramo de base 14 + 6. De ahí la fórmula.

La altura no es un lado cualquiera: es la distancia perpendicular entre las dos bases. En un paralelogramo inclinado, el lado oblicuo mide más que la altura, y usarlo por error infla el área.

Polígonos regulares

Un polígono regular se parte, desde el centro, en tantos triángulos iguales como lados tiene. La altura de cada uno es la apotema. Sumando las bases sale el perímetro, y de ahí la fórmula $A = \frac{P \cdot a}{2}$ .

En el hexágono el radio mide lo mismo que el lado, así que la apotema sale por Pitágoras: √(6² − 3²) ≈ 5,2.

10.7Áreas de las figuras curvas

La circunferencia es la línea; el círculo es la superficie que encierra. Una tiene longitud y el otro tiene área, y las dos fórmulas se parecen tanto que conviene fijarse: la que lleva el radio al cuadrado es la del área.

L = 2 π r A = π r^{2}

Sector circular y arco

Un sector es el trozo de círculo que abarca un ángulo de $n$ grados, como una porción de tarta. Un arco es el trozo de circunferencia correspondiente. En los dos casos se coge la parte proporcional: $n$ de cada $360$ .

A_{sector} = π r^{2} \cdot \frac{n}{360} ℓ_{arco} = 2 π r \cdot \frac{n}{360}

120° es la tercera parte de 360°, así que este sector es la tercera parte del círculo.

Corona circular

Una corona es lo que queda entre dos círculos con el mismo centro: un anillo. Su área es la del grande menos la del pequeño.

A = π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2})

En una corona se restan los cuadrados de los radios, no los radios. Con $R = 5$ y $r = 3$ , es $25 - 9 = 16$ , no $(5 - 3)^{2} = 4$ .

Ejemplo resuelto

Una pista circular tiene 20 m de diámetro. ¿Cuánto se recorre al dar una vuelta y cuánta superficie ocupa?

1
El radio es la mitad del diámetro.
$r = \frac{20}{2} = 10$
2
La vuelta es la longitud de la circunferencia.
$L = 2 \cdot π \cdot 10 \approx 62, 83$
3
Y la superficie es el área del círculo.
$A = π \cdot 1 0^{2} \approx 314, 16$

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