Tema 14Llest per a practicar

Paràmetres estadístics

Contingut del tema

14.1Dos tipus de paràmetres estadístics
14.2Càlcul de x̄ i σ en taules de freqüències
14.3Interpretació conjunta de x̄ i σ
14.4Paràmetres de posició: mediana i quartils
14.5Obtenció de x̄ i σ amb la calculadora
14.6Interpretació crítica de dades estadístiques

Teoria

14.1Dos tipus de paràmetres estadístics

Un paràmetre és un nombre que resumeix molts nombres. I en fan falta de dues classes, perquè un sol nombre mai no conta la història sencera.

Els de centralització diuen per on van les dades: la mitjana $x ˉ$ , la mediana $M e$ i la moda $M o$ .
Els de dispersió diuen si estan apretades o escampades: el recorregut i la desviació típica $σ$ .

Mitjana, mediana i moda

La mitjana reparteix el total a parts iguals. La mediana és el valor que deixa la meitat de les dades a cada costat. La moda és el que més es repeteix.

x ˉ = \frac{\sum x _{i}}{N} recorrido = x_{m a ˊ x} - x_{m i ˊ n}

Exemple resolt

Un equip ha marcat estos gols: 1, 3, 0, 2, 4, 1, 3, 0.

1
La mitjana reparteix el total entre els huit partits:
$x ˉ = \frac{1 + 3 + 0 + 2 + 4 + 1 + 3 + 0}{8} = \frac{14}{8} = 1, 75$
2
I el recorregut diu quant s’estiren:
$4 - 0 = 4$

14.2Càlcul de x̄ i σ en taules de freqüències

Quan les dades vénen en una taula, no se sumen els valors tal com són: cadascun apareix $f_{i}$ vegades, així que primer es multiplica.

x ˉ = \frac{\sum x _{i} f _{i}}{N} σ = \frac{\sum x _{i}^{2} f _{i}}{N} - x ˉ^{2}

Què és la desviació típica

La desviació típica mesura, de mitjana, quant s’allunya cada dada de la mitjana. Si ix xicoteta, les dades s’assemblen entre elles; si ix gran, estan escampades. I va en les mateixes unitats que les dades, que és just per al que se li extrau l’arrel al final.

Exemple resolt

Calcula la mitjana i la desviació típica d’esta taula.

1
Convé afegir a la taula dues columnes de treball, una per a $x_{i} f_{i}$ i una altra per a $x_{i}^{2} f_{i}$ .
$x_{i}$ $f_{i}$ $x_{i} f_{i}$ $x_{i}^{2} f_{i}$
0 3 0 0
1 5 5 5
2 8 16 32
3 4 12 36
Total 20 33 73
2
La mitjana ix de les dues primeres sumes:
$x ˉ = \frac{33}{20} = 1, 65$
3
La variància és la mitjana dels quadrats menys el quadrat de la mitjana:
$σ^{2} = \frac{73}{20} - 1, 6 5^{2} = 3, 65 - 2, 7225 = 0, 9275$
4
I la desviació típica és la seua arrel:
$σ = 0, 9275 \approx 0, 96$

$x_{i}$	$f_{i}$	$x_{i} f_{i}$	$x_{i}^{2} f_{i}$
0	3	0	0
1	5	5	5
2	8	16	32
3	4	12	36
Total	20	33	73

En $\sum x_{i}^{2} f_{i}$ s’eleva al quadrat només el valor, no la freqüència. És $2^{2} \cdot 8 = 32$ , no $(2 \cdot 8)^{2}$ .

14.3Interpretació conjunta de x̄ i σ

La mitjana sola no diu gran cosa. Dos grups poden tindre exactament la mateixa mitjana i no assemblar-se en res: un amb totes les dades juntes i un altre amb la meitat molt amunt i la meitat molt avall. El que els distingeix és la desviació.

Dos exàmens amb la mateixa mitjana
Grup	Notes	$x ˉ$	$σ$
A	4, 5, 5, 5, 6	5	0,63
B	1, 2, 5, 8, 9	5	3,16

La mateixa mitjana, 5, i dues classes completament distintes. En la B hi ha gent que no s’està assabentant de res.

Coeficient de variació

Una desviació de 2 és enorme si la mitjana és 5, i no és res si la mitjana és 500. Per a poder comparar cal relacionar-les: això és el coeficient de variació. Com més xicotet ix, més homogènies són les dades.

C V = \frac{σ}{x ˉ} \cdot 100

14.4Paràmetres de posició: mediana i quartils

Els paràmetres de posició no calculen res: ordenen les dades i assenyalen un lloc. La mediana assenyala el centre; els quartils, els punts que parteixen les dades en quatre parts iguals.

** $Q_{1}$ **: deixa per davall la quarta part de les dades.
** $Q_{2}$ **: és la mediana, en deixa la meitat.
** $Q_{3}$ **: deixa per davall les tres quartes parts.

Com es calculen

S’ordenen les dades i es busca la mediana. Si hi ha una quantitat parell de dades, no n’hi ha cap just al centre: es pren el punt mitjà de les dues centrals. Després, $Q_{1}$ és la mediana de la meitat de baix i $Q_{3}$ la de la meitat de dalt.

Exemple resolt

Troba els quartils de: 3, 7, 4, 9, 5, 12, 6, 8, 10.

1
El primer, ordenar-los. Són nou dades.
$3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12$
2
La del centre és la cinquena: eixa és la mediana.
$M e = 7$
3
La meitat de baix és 3, 4, 5, 6 i la seua mediana és el punt mitjà de 4 i 5.
$Q_{1} = \frac{4 + 5}{2} = 4, 5$
4
I la meitat de dalt és 8, 9, 10, 12.
$Q_{3} = \frac{9 + 10}{2} = 9, 5$

Diagrama de caixa i bigots

Amb cinc nombres —mínim, $Q_{1}$ , mediana, $Q_{3}$ i màxim— es dibuixa un resum de tota la distribució. La caixa conté el 50 % central de les dades, i la seua amplària és el recorregut interquartílic: com més estreta, més apretades estan.

Les dades de l’exemple. La caixa va de 4,5 a 9,5: ahí dins està la meitat de les dades.

14.5Obtenció de x̄ i σ amb la calculadora

Qualsevol calculadora científica té mode estadística, i dóna la mitjana i la desviació sense haver de muntar la taula. Val la pena aprendre a usar-lo: en un examen estalvia molt de temps i evita errors de compte.

S’entra en el mode estadística (sol ser MODE i després STAT o SD).
S’esborra el que hi haguera d’abans. És el pas que més s’oblida, i espatla el resultat sense avisar.
S’introdueixen les dades. Si hi ha taula, s’introdueix el valor i la seua freqüència en la columna que toca.
I es demanen $x ˉ$ i $σ$ en el menú de resultats.

Quasi totes les calculadores donen dues desviacions: $σ_{n}$ i $s_{n - 1}$ . La de l’ESO és sempre ** $σ_{n}$ **, la que divideix entre $N$ . Si el resultat no quadra amb el del llibre, quasi segur que és això.

Tot i això, convé saber què fa per dins: només necessita tres nombres, $N$ , $\sum x_{i}$ i $\sum x_{i}^{2}$ . Amb eixos tres ixen la mitjana i la desviació, i res més.

14.6Interpretació crítica de dades estadístiques

Este apartat és el més important del tema, i el que menys es calcula. Les dades estadístiques apareixen tots els dies en les notícies i en la publicitat, i quasi sempre acompanyades d’una conclusió que la dada no sosté.

Quan la mitjana enganya

N’hi ha prou amb una sola dada molt gran per a arrossegar la mitjana. En una empresa on quasi tots cobren 1300 € i el cap en cobra 9000, la mitjana ix per damunt de 2000: un sou que no cobra ningú. La mediana, en canvi, ni se n’assabenta, perquè només mira qui està al centre.

De quina mitjana parlen? Si hi ha valors que se n’ixen molt, la mediana representa millor el grup.
On comença l’eix? Un gràfic que no comença en zero exagera qualsevol diferència.
A quants han preguntat, i a qui? Un 80 % de cinc persones no és un 80 %.
Qui paga l’estudi? No l’invalida, però convé saber-ho.
Que dues coses vagen juntes vol dir que una causa l’altra? Quasi mai.

Que dues coses pugen alhora no significa que una provoque l’altra. A l’estiu pugen les vendes de gelats i també els ofegaments, i no és que el gelat ofegue ningú: el que puja és la calor.

Practicar

Preparant l’exercici…

Fer la prova del tema

Quan el tingues treballat, posa’t a prova amb deu exercicis de tot el tema.

Fer la prova del tema