Tema 15Llest per a practicar

Atzar i probabilitat

Contingut del tema

15.1Esdeveniments aleatoris
15.2Probabilitat d'un esdeveniment
15.3Probabilitat en experiències regulars. Llei de Laplace
15.4Probabilitat en experiències irregulars. Llei dels grans nombres
15.5Probabilitats en experiències compostes

Teoria

15.1Esdeveniments aleatoris

Experiment aleatori

Un experiment és aleatori si, encara que es repetisca en les mateixes condicions, no es pot saber per endavant què eixirà. Llançar un dau ho és; soltar una pedra, no.

L’espai mostral, $E$ , és el conjunt de tots els resultats possibles.
Un esdeveniment és qualsevol conjunt de resultats. «Eixir parell» és l’esdeveniment ${2, 4, 6}$ .
L’esdeveniment contrari d’ $A$ , que s’escriu $A$ , és tot el que no és $A$ .
Hi ha dos esdeveniments estranys però útils: el segur, que és $E$ sencer, i l’impossible, que no té cap resultat.

En comptar l’espai mostral de dos objectes, els resultats són parelles ordenades. Amb dues monedes hi ha quatre casos, no tres: CC, CX, XC i XX. «Una cara i una creu» ix de dues maneres, i per això és el doble de probable que dues cares.

15.2Probabilitat d’un esdeveniment

Probabilitat

La probabilitat d’un esdeveniment és un nombre entre 0 i 1 que mesura com de fàcil és que passe. El 0 és l’esdeveniment impossible i l’1, el segur. Es pot escriure com a fracció, com a decimal o com a percentatge: són la mateixa cosa.

0 \leq P (A) \leq 1 P (A) + P (A) = 1

D’eixa segona igualtat ix una drecera que s’usa constantment: quan comptar els casos favorables és un embolic, moltes vegades és molt més fàcil comptar els del contrari i restar-los a un.

Exemple resolt

Es llancen dos daus. Quina és la probabilitat de traure almenys un 6?

1
Comptar «almenys un 6» directament és incòmode, perquè hi ha els casos amb un 6 i el cas amb dos. El contrari és més fàcil: cap 6.
2
Sense cap 6, cada dau té 5 possibilitats:
$P (ninguno) = \frac{5 \cdot 5}{36} = \frac{25}{36}$
3
I es resta a un:
$1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0, 31$

15.3Probabilitat en experiències regulars. Llei de Laplace

Llei de Laplace

Quan tots els resultats són igual de probables —un dau que no està trucat, una moneda normal, una baralla ben barallada—, la probabilitat d’un esdeveniment és la proporció de casos que li valen.

P (A) = \frac{casos favorables}{casos posibles}

La condició no és un adorn. Si el dau està carregat o la ruleta no té totes les caselles iguals, esta fórmula no val, i cal estimar la probabilitat d’una altra manera.

Exemple resolt

D’una baralla espanyola de 40 cartes se’n trau una. Quina probabilitat hi ha que siga una figura?

1
Les figures són sota, cavall i rei, i n’hi ha una de cada en els quatre pals.
$3 \cdot 4 = 12$
2
I s’aplica Laplace:
$P = \frac{12}{40} = \frac{3}{10} = 0, 3$

15.4Probabilitat en experiències irregulars. Llei dels grans nombres

Si els resultats no són igual de probables, no hi ha casos que comptar. Aleshores només queda fer l’experiment moltes vegades i mirar què passa.

Llei dels grans nombres

En repetir un experiment moltes vegades, la freqüència relativa d’un esdeveniment es va acostant a la seua probabilitat, i cada vegada es mou menys. Per això s’usa la freqüència relativa com a estimació: com més repeticions, millor estimació.

Una xinxeta llançada a l’aire: cau amb la punta cap amunt?
Llançaments	Punta amunt	Freqüència relativa
10	7	0,700
100	63	0,630
1000	618	0,618
10 000	6212	0,621

Amb pocs llançaments el valor balla molt; amb molts, s’estabilitza prop de 0,62. Eixa és l’estimació de la probabilitat.

Compte amb la trampa del jugador: si ix cara cinc vegades seguides, la següent continua tenint probabilitat 1/2. La moneda no recorda el que va fer abans.

A l’inrevés també s’usa: si sabem la probabilitat, podem estimar quantes vegades passarà. En 300 tirades d’un dau s’esperen uns $300 \cdot \frac{1}{6} = 50$ sisos. És una estimació, no una promesa.

15.5Probabilitats en experiències compostes

Una experiència és composta quan es fan dues coses seguides: dues tirades, dues extraccions, una moneda i un dau. Per a no perdre’s es dibuixa un arbre: una branca per cada resultat, amb la seua probabilitat escrita damunt.

Per a recórrer un camí sencer de l’arbre, es multipliquen les probabilitats de les seues branques.
Si valen diversos camins, se sumen els resultats de cadascun.
Les branques que ixen d’un mateix punt sempre sumen 1. És la comprovació que l’arbre està bé.

Amb devolució i sense devolució

És la distinció que decideix l’exercici. Si el que es trau es torna, la segona extracció comença exactament igual que la primera i les probabilitats no canvien. Si no es torna, hi ha un objecte menys, i les probabilitats de la segona depenen del que va eixir en la primera.

Bossa amb 3 roges i 2 blaves, traient dues boles sense tornar. Fixa’t que en el segon nivell els denominadors són 4, no 5.

Exemple resolt

Amb eixa bossa de 3 roges i 2 blaves, i traient dues boles sense tornar, quina probabilitat hi ha que les dues siguen roges?

1
En la primera extracció hi ha 5 boles i 3 són roges.
$P_{1} = \frac{3}{5}$
2
Si ha eixit roja, queden 4 boles i només 2 de roges.
$P_{2} = \frac{2}{4}$
3
És un camí sencer de l’arbre, així que es multipliquen:
$P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = 0, 3$

La fallada típica és deixar el mateix denominador en els dos nivells quan el problema diu «sense tornar». Si no es torna, en el segon nivell hi ha una bola menys, i del color que va eixir n’hi ha una menys també.

Practicar

Preparant l’exercici…

Fer la prova del tema

Quan el tingues treballat, posa’t a prova amb deu exercicis de tot el tema.

Fer la prova del tema