Azar y probabilidad
Contenido del tema
Teoría
15.1Sucesos aleatorios
Experimento aleatorio
Un experimento es aleatorio si, aun repitiéndolo en las mismas condiciones, no se puede saber de antemano qué va a salir. Lanzar un dado lo es; soltar una piedra, no.
- El espacio muestral, , es el conjunto de todos los resultados posibles.
- Un suceso es cualquier conjunto de resultados. «Salir par» es el suceso .
- El suceso contrario de , que se escribe , es todo lo que no es .
- Hay dos sucesos raros pero útiles: el seguro, que es entero, y el imposible, que no tiene ningún resultado.
Al contar el espacio muestral de dos objetos, los resultados son parejas ordenadas. Con dos monedas hay cuatro casos, no tres: CC, CX, XC y XX. «Una cara y una cruz» sale de dos maneras, y por eso es el doble de probable que dos caras.
15.2Probabilidad de un suceso
Probabilidad
La probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1 que mide cómo de fácil es que ocurra. El 0 es el suceso imposible y el 1, el seguro. Se puede escribir como fracción, como decimal o como porcentaje: son la misma cosa.
De esa segunda igualdad sale un atajo que se usa constantemente: cuando contar los casos favorables es un lío, muchas veces es mucho más fácil contar los del contrario y restarle a uno.
Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos un 6?
- 1Contar «al menos un 6» directamente es incómodo, porque están los casos con un 6 y el caso con dos. El contrario es más fácil: ningún 6.
- 2Sin ningún 6, cada dado tiene 5 posibilidades:
- 3Y se resta a uno:
15.3Probabilidad en experiencias regulares. Ley de Laplace
Ley de Laplace
Cuando todos los resultados son igual de probables —un dado que no está trucado, una moneda normal, una baraja bien barajada—, la probabilidad de un suceso es la proporción de casos que le valen.
La condición no es un adorno. Si el dado está cargado o la ruleta no tiene todas las casillas iguales, esta fórmula no vale, y hay que estimar la probabilidad de otra manera.
De una baraja española de 40 cartas se saca una. ¿Qué probabilidad hay de que sea una figura?
- 1Las figuras son sota, caballo y rey, y hay una de cada en los cuatro palos.
- 2Y se aplica Laplace:
15.4Probabilidad en experiencias irregulares. Ley de los grandes números
Si los resultados no son igual de probables, no hay casos que contar. Entonces solo queda hacer el experimento muchas veces y mirar qué pasa.
Ley de los grandes números
Al repetir un experimento muchas veces, la frecuencia relativa de un suceso se va acercando a su probabilidad, y cada vez se mueve menos. Por eso se usa la frecuencia relativa como estimación: cuantas más repeticiones, mejor estimación.
| Lanzamientos | Punta arriba | Frecuencia relativa |
|---|---|---|
| 10 | 7 | 0,700 |
| 100 | 63 | 0,630 |
| 1000 | 618 | 0,618 |
| 10 000 | 6212 | 0,621 |
Cuidado con la trampa del jugador: si sale cara cinco veces seguidas, la siguiente sigue teniendo probabilidad 1/2. La moneda no se acuerda de lo que hizo antes.
Al revés también se usa: si sabemos la probabilidad, podemos estimar cuántas veces ocurrirá. En 300 tiradas de un dado se esperan unos seises. Es una estimación, no una promesa.
15.5Probabilidades en experiencias compuestas
Una experiencia es compuesta cuando se hacen dos cosas seguidas: dos tiradas, dos extracciones, una moneda y un dado. Para no perderse se dibuja un árbol: una rama por cada resultado, con su probabilidad escrita encima.
- Para recorrer un camino entero del árbol, se multiplican las probabilidades de sus ramas.
- Si valen varios caminos, se suman los resultados de cada uno.
- Las ramas que salen de un mismo punto siempre suman 1. Es la comprobación de que el árbol está bien.
Con devolución y sin devolución
Es la distinción que decide el ejercicio. Si lo que se saca se devuelve, la segunda extracción empieza exactamente igual que la primera y las probabilidades no cambian. Si no se devuelve, hay un objeto menos, y las probabilidades de la segunda dependen de lo que salió en la primera.
Con esa bolsa de 3 rojas y 2 azules, y sacando dos bolas sin devolver, ¿qué probabilidad hay de que las dos sean rojas?
- 1En la primera extracción hay 5 bolas y 3 son rojas.
- 2Si ha salido roja, quedan 4 bolas y solo 2 rojas.
- 3Es un camino entero del árbol, así que se multiplican:
El fallo típico es dejar el mismo denominador en los dos niveles cuando el problema dice «sin devolver». Si no se devuelve, en el segundo nivel hay una bola menos, y del color que salió hay una menos también.
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