Tema 14Listo para practicar

Parámetros estadísticos

Contenido del tema

14.1Dos tipos de parámetros estadísticos
14.2Cálculo de x̄ y σ en tablas de frecuencias
14.3Interpretación conjunta de x̄ y σ
14.4Parámetros de posición: mediana y cuartiles
14.5Obtención de x̄ y σ con la calculadora
14.6Interpretación crítica de datos estadísticos

Teoría

14.1Dos tipos de parámetros estadísticos

Un parámetro es un número que resume muchos números. Y hacen falta de dos clases, porque un solo número nunca cuenta la historia entera.

Los de centralización dicen por dónde andan los datos: la media $x ˉ$ , la mediana $M e$ y la moda $M o$ .
Los de dispersión dicen si están apretados o desperdigados: el recorrido y la desviación típica $σ$ .

Media, mediana y moda

La media reparte el total a partes iguales. La mediana es el valor que deja la mitad de los datos a cada lado. La moda es el que más se repite.

x ˉ = \frac{\sum x _{i}}{N} recorrido = x_{m a ˊ x} - x_{m i ˊ n}

Ejemplo resuelto

Un equipo ha marcado estos goles: 1, 3, 0, 2, 4, 1, 3, 0.

1
La media reparte el total entre los ocho partidos:
$x ˉ = \frac{1 + 3 + 0 + 2 + 4 + 1 + 3 + 0}{8} = \frac{14}{8} = 1, 75$
2
Y el recorrido dice cuánto se estiran:
$4 - 0 = 4$

14.2Cálculo de x̄ y σ en tablas de frecuencias

Cuando los datos vienen en una tabla, no se suman los valores tal cual: cada uno aparece $f_{i}$ veces, así que primero se multiplica.

x ˉ = \frac{\sum x _{i} f _{i}}{N} σ = \frac{\sum x _{i}^{2} f _{i}}{N} - x ˉ^{2}

Qué es la desviación típica

La desviación típica mide, en promedio, cuánto se aleja cada dato de la media. Si sale pequeña, los datos se parecen entre sí; si sale grande, están desperdigados. Y va en las mismas unidades que los datos, que es justo para lo que se le saca la raíz al final.

Ejemplo resuelto

Calcula la media y la desviación típica de esta tabla.

1
Conviene añadirle a la tabla dos columnas de trabajo, una para $x_{i} f_{i}$ y otra para $x_{i}^{2} f_{i}$ .
$x_{i}$ $f_{i}$ $x_{i} f_{i}$ $x_{i}^{2} f_{i}$
0 3 0 0
1 5 5 5
2 8 16 32
3 4 12 36
Total 20 33 73
2
La media sale de las dos primeras sumas:
$x ˉ = \frac{33}{20} = 1, 65$
3
La varianza es la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media:
$σ^{2} = \frac{73}{20} - 1, 6 5^{2} = 3, 65 - 2, 7225 = 0, 9275$
4
Y la desviación típica es su raíz:
$σ = 0, 9275 \approx 0, 96$

$x_{i}$	$f_{i}$	$x_{i} f_{i}$	$x_{i}^{2} f_{i}$
0	3	0	0
1	5	5	5
2	8	16	32
3	4	12	36
Total	20	33	73

En $\sum x_{i}^{2} f_{i}$ se eleva al cuadrado solo el valor, no la frecuencia. Es $2^{2} \cdot 8 = 32$ , no $(2 \cdot 8)^{2}$ .

14.3Interpretación conjunta de x̄ y σ

La media sola no dice gran cosa. Dos grupos pueden tener exactamente la misma media y no parecerse en nada: uno con todos los datos juntos y otro con la mitad muy arriba y la mitad muy abajo. Lo que los distingue es la desviación.

Dos exámenes con la misma media
Grupo	Notas	$x ˉ$	$σ$
A	4, 5, 5, 5, 6	5	0,63
B	1, 2, 5, 8, 9	5	3,16

La misma media, 5, y dos clases completamente distintas. En la B hay gente que no se está enterando de nada.

Coeficiente de variación

Una desviación de 2 es enorme si la media es 5, y no es nada si la media es 500. Para poder comparar hace falta relacionarlas: eso es el coeficiente de variación. Cuanto más pequeño sale, más homogéneos son los datos.

C V = \frac{σ}{x ˉ} \cdot 100

14.4Parámetros de posición: mediana y cuartiles

Los parámetros de posición no calculan nada: ordenan los datos y señalan un sitio. La mediana señala el centro; los cuartiles, los puntos que parten los datos en cuatro partes iguales.

** $Q_{1}$ **: deja por debajo la cuarta parte de los datos.
** $Q_{2}$ **: es la mediana, deja la mitad.
** $Q_{3}$ **: deja por debajo las tres cuartas partes.

Cómo se calculan

Se ordenan los datos y se busca la mediana. Si hay una cantidad par de datos, no hay ninguno justo en el centro: se toma el punto medio de los dos centrales. Después, $Q_{1}$ es la mediana de la mitad de abajo y $Q_{3}$ la de la mitad de arriba.

Ejemplo resuelto

Halla los cuartiles de: 3, 7, 4, 9, 5, 12, 6, 8, 10.

1
Lo primero, ordenarlos. Son nueve datos.
$3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12$
2
El del centro es el quinto: esa es la mediana.
$M e = 7$
3
La mitad de abajo es 3, 4, 5, 6 y su mediana es el punto medio de 4 y 5.
$Q_{1} = \frac{4 + 5}{2} = 4, 5$
4
Y la mitad de arriba es 8, 9, 10, 12.
$Q_{3} = \frac{9 + 10}{2} = 9, 5$

Diagrama de caja y bigotes

Con cinco números —mínimo, $Q_{1}$ , mediana, $Q_{3}$ y máximo— se dibuja un resumen de toda la distribución. La caja contiene el 50 % central de los datos, y su anchura es el recorrido intercuartílico: cuanto más estrecha, más apretados están.

Los datos del ejemplo. La caja va de 4,5 a 9,5: ahí dentro está la mitad de los datos.

14.5Obtención de x̄ y σ con la calculadora

Cualquier calculadora científica tiene modo estadística, y da la media y la desviación sin tener que montar la tabla. Merece la pena aprender a usarlo: en un examen ahorra mucho tiempo y evita errores de cuenta.

Se entra en el modo estadística (suele ser MODE y luego STAT o SD).
Se borra lo que hubiera de antes. Es el paso que más se olvida, y estropea el resultado sin avisar.
Se meten los datos. Si hay tabla, se mete el valor y su frecuencia en la columna que toca.
Y se piden $x ˉ$ y $σ$ en el menú de resultados.

Casi todas las calculadoras dan dos desviaciones: $σ_{n}$ y $s_{n - 1}$ . La de la ESO es siempre ** $σ_{n}$ **, la que divide entre $N$ . Si el resultado no cuadra con el del libro, casi seguro que es esto.

Aun así, conviene saber qué hace por dentro: solo necesita tres números, $N$ , $\sum x_{i}$ y $\sum x_{i}^{2}$ . Con esos tres salen la media y la desviación, y nada más.

14.6Interpretación crítica de datos estadísticos

Este apartado es el más importante del tema, y el que menos se calcula. Los datos estadísticos aparecen todos los días en las noticias y en la publicidad, y casi siempre acompañados de una conclusión que el dato no sostiene.

Cuando la media engaña

Basta un solo dato muy grande para arrastrar la media. En una empresa donde casi todos cobran 1300 € y el jefe cobra 9000, la media sale por encima de 2000: un sueldo que no cobra nadie. La mediana, en cambio, ni se entera, porque solo mira quién está en el centro.

¿De qué media hablan? Si hay valores que se salen mucho, la mediana representa mejor al grupo.
¿Dónde empieza el eje? Un gráfico que no empieza en cero exagera cualquier diferencia.
¿A cuántos han preguntado, y a quiénes? Un 80 % de cinco personas no es un 80 %.
¿Quién paga el estudio? No lo invalida, pero conviene saberlo.
¿Que dos cosas vayan juntas quiere decir que una causa la otra? Casi nunca.

Que dos cosas suban a la vez no significa que una provoque la otra. En verano suben las ventas de helados y también los ahogamientos, y no es que el helado ahogue a nadie: lo que sube es el calor.

Practicar

Preparando ejercicio…

Hacer la prueba del tema

Cuando lo tengas trabajado, ponte a prueba con diez ejercicios de todo el tema.

Hacer la prueba del tema